Игра Ним - игра для двух человек. Правила игры очень просты.
Есть несколько кучек камней. Двое по очереди делают ходы. Ход заключается в том, что игрок выбирает непустую кучку и берет из нее любое число камней (ненулевое). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Если изначально в игре три кучки: 10, 15, 20, то при правильной игре выиграет первый игрок, а если 10, 20 и 30, то второй. Найдите минимальное n для которого в игре "10 20 30 40 50 60 70 80 90 n" выиграет второй.

Найти наименьшее натуральное число n для которого 2ⁿ + 3 делится на простое число 625406681329.

Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 123 дает остаток 12, при делении на 239 дает остаток 57, при делении на 361 - остаток 239, при делении на 566 - остаток 361, а при делении на 1237 - остаток 566.

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1

Найти вторую цифру числа 2²⁰⁰⁹.

Пусть A₁=2009, ..., A_k+1=2009^A_k.
Найти последние 40 цифр числа A₂₀₀₉.

Вы собираете теннисные мячи в корзины, сотоящие из трех отделений, при этом раскладываете их по следующим правилам:

1. во всех отделениях всех корзин разное (ненулевое) количество мячей;

2. во всех корзинах в сумме по отделениям одинаковое количество мячей;

3. количество мячей в корзинах минимально возможное для данного количества корзин.

Например, если у вас 2 корзины, то в отделения первой корзины последовательно разещаем 1, 3 и 7 мячей, а в отделения второй - 2, 4 и 5 мячей. В результате в каждой корзине будет по 11 мячей, и это число минимально возможное.

У вас 100 корзин, найти сумму мячей в одной корзине.

Строку натуральных чисел (1, 3, 5, 2, 4) попробуем упорядочить при помощи специальных перестановок: разделим строку на 2 части (1, 3, 5) и (2, 4), первую строку запишем в обратном порядке и присоединим ко второй, в результате получим (5, 3, 1, 2, 4). Далее действуем также - разбиваем строку на 2 любые части (любая часть может быть пустой), первую часть записываем в обратном порядке и просоединяем ко второй. При помощи перестановок:

(5, 3, 1, 2, 4) = (5, 3, 1, 2, 4) + () -> (4, 2, 1, 3, 5)

(4, 2, 1, 3, 5) = (4, 2, 1, 3) + (5) -> (3, 1, 2, 4, 5)

(3, 1, 2, 4, 5) = (3, 1, 2) + (4, 5) -> (2, 1, 3, 4, 5)

(2, 1, 3, 4, 5) = (2, 1) + (3, 4, 5) -> (1, 2, 3, 4, 5)

За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку чисел от 1 до 100?  

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

На шахматную доску расставляются различные фигуры - кони, слоны, ладьи, ферзи и короли, при этом каждая фигура присутствует хотя бы один раз и ни одна фигура не находится под боем остальных. Какое максимальное количество фигур можно разместить таким образом?