Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

Напомним, что функция Эйлера φ(n) определена для натуральных аргументов n и равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
6227180929 является наименьшим числом, для которых φ(n)=13!
Найдите сумму всех n, для которых φ(n)=13!

Дано множество простых чисел, не превышающих 5000:
S = {2, 3, 5, ..., 4999}
Найдите, сколько оно содержит подмножеств, у которых количество элементов нечетно, а сумма элементов является простым числом.
В качестве ответа укажите последние 16 знаков результата.

Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.

Для заданного множества точек на плоскости М определим выпуклую дыру H как многоугольник, все вершины которого принадлежат множеству М, и ни одна точка из М не содержится во внутренней области H (на сторонах многоугольника точки лежать могут).
В качестве примера на рисунке ниже показано множество М из 20 точек и несколько из заданных им выпуклых дыр.

Красным цветом показана выпуклая дыра наибольшей площади: ее площадь составляет 1049694,5 единиц, и для данного множества М нет выпуклых дыр с большей площадью.

Для нашего примера мы использовали первые 20 точек, полученные с помощью генератора случайных чисел следующим образом. Точка с номером k имеет координаты (T_2k-1, T_2k), а псевдослучайные числа T_k получены при помощи рекуррентной формулы:

S_n+1 = S_n² mod 50515093,
где S₀ = 290797
и
T_n =(S_n mod 2000) - 1000.

Тогда координаты первых трех точек будут:
(527,144), (-488,732), (-454,-947).
Постройте с помощью указанного генератора псевдослучайных чисел множество М из первых 500 точек  и найдите для него выпуклую дыру наибольшей площади. Ответом задачи является периметр указанной дыры, округленный до целого.

Определим f(n) как сумму факториалов цифр числа n. Например, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.
Определим sf(n) как сумму цифр числа f(n). Например, sf(342) = 3 + 2 = 5.
Определим g(i) как наименьшее натуральное n, для которого sf(n) = i. Так, sf(342) = 5 и sf(25) = 5, и при этом можно проверить, что  наименьшим n, для которого sf(n) = 5 является число 25, поэтому g(5) = 25.
Определим sg(i) как сумму цифр числа g(i). Например, sg(5) = 2 + 5 = 7.
Для некоторых i значения sg(i) совпадают. Например, sg(5)=sg(10)=7;
Можно проверить, что сумма различных значений sg(i) при 1 ≤i ≤20 равна 108.
Найдите сумму различных значений sg(i) при 1 ≤i≤150.

Как известно, японцы застилают полы прямоугольными матами-татами, укладывая их без зазоров и перекрытий согласно строгим традиционным правилам. Хотя в разных частях Японии размер татами различается, везде его стороны соотносятся как 2:1. Поэтому стороны японской комнаты соотносятся как целые числа  a и b, а ее площадь можно выразить как s = a × b.
Кроме того, покрытие должно быть таким, чтобы в одной точке не сходилось более трех матов. Взгляните, например, на два покрытия квадратов 4×4:

 
Покрытие слева соответствует всем правилам, а покрытие справа недопустимо, поскольку в точке, отмеченной красным крестиком, сходятся четыре мата.
Ясно, что если площадь комнаты нечетная, ее нельзя застелить. Некоторые комнаты, даже имеющие целые стороны и четную площадь, все-таки нельзя правильным образом застелить татами. Будем называть такие комнаты недопустимыми. Обозначим через T(s) количество недопустимых комнат площади s.
Например, самая маленькая недопустимая комната имеет стороны 7 и 10. Ее площадь равна 70.  Остальные три комнаты площадью 70 (1×70, 2×35, 5×14) могут быть правильно застелены татами. Поэтому T(70)=1.
Аналогично, можно проверить, что T(1320) = 5, поскольку существует ровно пять недопустимых комнат площадью s = 1320:
20×66, 22×60, 24×55, 30×44 и 33×40.
Найдите сумму таких s, не превышающих 100 000 000, для которых T(s) ≥ 200.

Дан треугольник ABC, длины сторон которого выражаются различными целыми числами: |CB|<|AC|<|AB|.
Биссектрисы треугольника пересекают его стороны в точках E, F и G, как показано на рисунке:

Отрезки EF, EG и FG разбивают треугольник ABC на четыре треугольника меньшего размера: AEG, BFE, CGF и EFG.
Можно показать, что отношения площадей этих треугольников всегда выражаются рациональными числами, но иногда это отношение оказывается целым.
Найдите, сколько существует различных треугольников ABC, для которых отношение площадей треугольника ABC и треугольника AEG выражается целым числом, а |CB|<|AC|<|AB|≤50 000 000.

Последовательность g(k) задана следующим образом:
g(k) = 1, при 0 ≤k ≤1999
g(k)= g(k-2000) + g(k-1999), при k ≥2000.
Найдите остаток от деления суммы g(10⁰)+ g(10¹)+ g(10²)+…+ g(10¹⁸) на 12344321.