Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Необходимо разложить 8290 кафельных плиток размера 1x1 на пол размером 68x122, так чтобы в каждой строке и в каждом столбце было четное количество плиток, при этом на одно место можно положить не более одной плитки. Сколько существует способов такой укладки?

Известно, что если квадратный корень из целого числа не является целым числом, то он не будет и рациональным. Поэтому соответствующая ему бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Рассмотрим десятичное разложение квадратного корня из двух:
1.41421356237309504880...
Сумма ста первых десятичных знаков этого разложения равна 475.

Найдите сумму тысячи первых десятичных знаков корня квадратного из трех.

У вас есть кубики размера 1x1x1, из них - 6 прозрачные и 90 кубиков имеют в центре красную бусинку. Сколько существует способов размещения кубиков внутри параллелепипеда размером 4x4x6 таких, что во всех рядах по всем трем направлениям находится четное количество бусинок (ноль - также четное число)?

Найти минимальное n, такое что в записи n! встречаются все двухзначные числа. 

Прямоугольная сетка 3 × 2 на рисунке содержит 18 прямоугольников:

Определим функцию f(a,b) как число прямоугольников, содержащихся в сетке a × b.

Сколько различных значений принимает f(a,b) при 0<a<1000 и 0<b<1000?

Пусть S < 10⁹. Найти наибольшее значение S, для которого существует максимальное количество прямоугольников с целочисленными сторонами и площадью равной S.

Номера кредитной карты состоят из 16 цифр (все цифры не могут быть нулями одновременнно). Номер является счастливым, если сумма первых восьми цифр равна сумме последних восьми. Сколько всего таких счастливых номеров?

На каждой из 6 граней кубика изображена одна из цифр от 0 до 9. Так же и на другом кубе. Ставя два кубика рядом можно составить множество двузначных чисел.

Например число 64 будет составлено так:

Подобрав цифры на гранях, можно отобразить все числа которые можно получить суммой двух кубов меньшие сотни ( n = a³ + b³, n < 100, a и b - натуральные). Эти числа: 02, 09, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91. Например, с помощью наборов {5, 4, 3, 2, 1, 0} и {9, 8, 5, 4, 3, 1} могут быть выложены все необходимые числа. При этом надо учесть, что цифры 6 и 9 выглядят одинаково и могут использоваться друг за друга, хотя наборы с этими цифрами считаются различными. Тогда как один и тот же набор цифр расположенный на гранях кубика иным образом считается тем же набором.

То есть,

{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {3, 6, 4, 1, 2, 5} - одинаковые наборы;
{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {1, 2, 3, 4, 5, 9} - различные наборы.

Сколько различных пар кубиков могут быть сложены во все числа представимые суммой пары кубов?

Составим последовательность чисел следующим образом:

Пусть первое число n, а каждое следующее - сумма квадратов цифр предыдущего числа в шестнадцатеричной системе отсчета. Оказывается, независимо от начального числа последовательность зациклится. Либо зациклится числом 1, либо циклом содержащим 50 (32₁₆).

Например: 5 → 19 → 52 → 1D → AA → C8 → D0 → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → A9 → → B5 → 92 → 55 → 32;

2 → 4 → 10 → 1 → 1

Для всех начальных номеров n последовательности меньших 1000000₁₆ определите содержит ли последовательность 50 (32₁₆) и в ответе укажите количество последовательностей содержащих 50 (32₁₆).