Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка тупоугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² - 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка тупоугольных треугольников, стороны которых не превышают 30 000 000.

Функция бланманже определена на промежутке [0, 1] следующим образом:
,
Где s(x) – расстояние между x и ближайшим к нему целым числом.
График функции бланманже представлен на рисунке. Область под кривой, закрашена розовым. Ее площадь равна ½.

Построим теперь круг C с центром в точке (3/8, 1/2) и радиусом 3/8.
Найдите площадь той части круга C, которая лежит под графиком  функции бланманже.
Результат умножьте на 10⁷ и округлите до целого.

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?

Рассмотрим окружность, заданную тремя точками (0,0), (N,0) и (N,N).
Обозначим через f(N) количество точек с целочисленными координатами, лежащих на этой окружности.
Можно показать, что f(10000)=36.

Найдите сумму  таких натуральных N≤10¹¹, для которых f(N) = 588.

Для целого n≥4 определим нижний простой квадратный корень из n как наибольшее простое число, не превышающее √n. Обозначим это число через lps(n).
Аналогично, обозначим через ups(n) верхний простой квадратный корень из n, т.е. наименьшее простое число, большее или раное √n.
Например, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37.
Назовем число n≥4 полуделимым, если оно делится на lps(n) или на  ups(n), но не кратно обоим этим числам одновременно. Первые три полуделимых числа – это 8, 10 и 12. Число 15 не является полуделимым, поскольку  оно кратно и lps(15)=3, и ups(15)=5. Сумма первых трех полуделимых чисел равна 30. Сумма первых 92 полуделимых чисел равна 34825.
Найдите сумму первых 3711717 полуделимых чисел.

Решите уравнение относительно r:

Результат округлите до целого.

На складах 'A' и 'B' хранятся деликатесы в следующих количествах:

Обратите внимание на то, что количество каждого продукта измеряется упаковками, т.е. целым числом.

<page-break/>

Хотя хозяин всячески старается хранить деликатесы наилучшим образом, они иногда все-таки портятся.
Однажды хозяин решил проанализировать сохранность продуктов, используя два вида показателей:
• Доля испорченных для каждого из пяти видов продуктов и для каждого склада, которая рассчитывалась как отношение количества испорченного продукта на данном складе к количеству данного продукта на данном складе.
• Общая доля испорченных продуктов для каждого склада, которая рассчитывалось как общее количество испорченных продуктов на складе к общему количеству всех продуктов на данном складе.
Выяснилось, что на складе 'B' доля испорченных продуктов каждого вида больше, чем на складе 'A'. При этом оказалось, что доля испорченных для каждого из пяти продуктов на складе B отличалась от доли испорченных для того же продукта на складе A одним и тем же множителем m>1, т.е. отношение долей испорченных продуктов для каждого из продуктов было одинаково.
Но самым удивительным было то, что общая доля испорченных продуктов на складе 'A' была больше, чем на складе 'B', и их отношение также было в точности равно m.
Оказывается, что эта странная ситуация не уникальна. Она может возникать при 35 различных значениях m>1, и при этом наименьшее общее количество испорченных продуктов на обоих складах вместе равно 215.
Найдите наибольшее количество упаковок, которое могло испортиться на обоих складах вместе в подобной удивительной ситуации.

Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

Построим последовательность случайных чисел s_n при помощи генератора Блюм-Блюма-Шуба:
s₀=14025256
s_n+1=s_n² mod 20300713,
и запишем полученные числа s₀ s₁ s₂… подряд в одну бесконечную строку w: w=14025256741014958470038053646…

Для натурального числа k выберем все подстроки строки w, для которых сумма цифр равна k и обозначим через p(k) положение самой левой цифры в этих подстроках. Если не найдется ни одной подстроки с суммой цифр, равной k, будем считать, что p(k)=0.

Например,
Сумму цифр k=7 имеют подстроки 1402, 025, 25, 52, 25, 7 …, начинающиеся, соответственно, с 1, 3, 4, 5, 6, 9 … позиции. Поэтому p(7)=1.
Сумму цифр k=11 имеют подстроки 4025, 56, 74, 47, 470, 4700, 0038 …, начинающиеся, соответственно, со 2, 7, 9, 18, 18, 18, 20 … позиции. Поэтому p(11)=2.
Сумму цифр k=20 имеют подстроки 025256, 25256, 2567, 101495 …, начинающиеся, соответственно, со 3, 4, 6, 11 … позиции. Поэтому p(20)=3.

Можно показать, что среди значений p(k) для 0<k≤10³ найдется 614 нечетных и 386 четных.
А сколько нечетных значений p(k) найдется для  0<k≤2•10¹⁵?