На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Индийский математик Д. Р. Капрекар известен своими работами по теории чисел. Одна из его работ посвящена так называемому преобразованию Капрекара. Рассмотрим следующую операцию. Пусть задано число x. Пусть M - наибольшее число, которое можно получить из x перестановкой его цифр, а m - наименьшее число (это число может содержать ведущие нули). Обозначим как K(x) разность M - m, дополненную при необходимости ведущими нулями так, чтобы число цифр в ней было равно числу цифр в x.
Например, K(100) = 100 - 001 = 099, K(2414) = 4421 - 1244 = 3177.
Капрекар доказал, что если начать с некоторого четырехзначного числа x, в котором не все цифры равны между собой, и последовательно применять к нему эту операцию (вычислять K(x), K(K(x)), . . . ), то рано или поздно получится число 6174. Для него верно равенство
K(6174) = 7641 - 1467 = 6174, поэтому на нем процесс зациклится.
Найдите минимальное число, меньшее миллиона, такое что в результате некоторой последовательности операций K(x), K(K(x)),... получается максимальное число.

Найти миниальное n такое, что: 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n > 16. 

Сколько чисел начинается с цифры 1 среди чисел 2ⁿ, где n=0, 1,...,10⁹?

Для двух натуральных чисел a и b определим последовательность Улама следующим образом:
1.    U(a,b)₁ = a
2.    U(a,b)₂ = b
3.    U(a,b)_k > U(a,b)_k-1
4.    U(a,b)_k –наименьшее число, которое единственным образом можно представить в виде U(a,b)_k = U(a,b)_i + U(a,b)_j, где i<j<k.
Например, последовательность U(1,2) начинается со следующих чисел:
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
Число 5 не принадлежит последовательности, поскольку может быть представлено двумя способами (5 = 1 + 4 = 2 + 3), так же как и число 7 (7 = 1 + 6 = 3 + 4).
Найдите  ΣU(4,4n+1)_k для 1≤n≤7, где k = 10¹¹.

Найдите минимальное n при котором в записи 3ⁿ числа имеется 7 подряд идущих нулей.

Найдите наименьшее натуральное n такое, что в десятичной записи числа 7ⁿ содержится не менее 7 семерок.

Найдите количество различных троек натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что xⁿ+yⁿ=z^m (n и m - натуральные, n>2, m>1).

Есть N² ферзей N разных определённых цветов, по N ферзей каждого цвета. Обозначим как X(N) количество способов расставить все эти ферзи на шахматной доске размера N на N так, чтобы ферзи одного цвета не находились под ударом друг друга. Чему равна сумма X(3) + X(4) + X(5) + X(6) + X(7) + X(8) + X(9) + X(10)? (Координаты клеток доски, а также цвета ферзей, однозначно определены, поэтому разные позиции, подучающиеся одна от другой поворотом, симметрическим отображением или сменой цветов, считаются разными).

Пусть (x₁, x₂, ... , x_m) – такой набор положительных вещественных чисел, для которого выполняется условие x₁² + x₂² + ... + x_m² = m, а произведение P_m = x₁ * x₂² * ... * x_m^m принимает максимальное значение. Можно проверить, что [P₁₀] = 64 (здесь скобки [ ] означают целую часть числа).
А чему равно [P₂₅]?