В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

Степени двойки, как известно, редко начинаются с цифры 9 (см. задачу 316). Так, первый раз это случается только для 53-й степени (2⁵³ = 9007199254740992). С двух девяток подряд начинается 93-я степень, а с трех девяток - только 2621-я.

Найдите минимальный показатель степени n такой, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается с десяти девяток подряд.

Космонавты осваивают планету, имеющую радиус r. Они построили две станции на полюсах планеты, имеющих координаты (0,0,r) и (0,0,-r) в системе координат, связанной с центром планеты.
Также они установили несколько промежуточных станций, расположенных во всех точках поверхности планеты, имеющих целые координаты.

Все станции связаны дорогами, проложенными по кратчайшей дуге большого круга, однако путь между станциями требует больших затрат, равных (d/(π r))², где d – протяженность дороги между двумя станциями. Если маршрут включает посещение нескольких промежуточных станций, затраты на все путешествие равны сумме затрат на отдельных участках.
Маршрут, проложенный между полюсами планеты и не проходящий через промежуточные станции, будет иметь длину πr, а затраты будут равны 1. Если же включить в маршрут одну промежуточную станцию с координатами (0,r,0), затраты уменьшатся вдвое:   (½πr/(πr))²+(½πr/(πr))²=0,5.
Будем называть оптимальным маршрут между полюсами планеты, если он требует минимальных затрат.
Например, при r=7 оптимальный маршрут будет проходить через 6 промежуточных станций, а затраты составят примерно 0,1784943998…
Подсчитайте, сколько промежуточных станций посетят космонавты, путешествуя по оптимальному маршруту между полюсами планеты с r=33333.

В отеле "Инфинити" бесконечно много этажей, на каждом этаже бесконечно много комнат, а к администратору выстроилась бесконечно длинная очередь. И этажи, и комнаты на каждом этаже, и посетители перенумерованы подряд натуральными числами (1, 2, 3, …).
В начальный момент все комнаты отеля свободны. Чтобы поселить очередного гостя с номером n,  администратор выбирает самый нижний этаж, на котором либо пока никто не живет, либо последний поселившийся имеет такой номер m, что m+n является квадратом целого числа. Новый гость получает первый свободный номер на выбранном этаже.
 Гость №1 получает комнату №1 на первом этаже, поскольку на нем еще никто не живет.
 Гостя №2 нельзя поселить в комнате №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+2=3 не является квадратом. Этого гостя можно поселить на втором, пока еще пустом этаже, в комнате №1.
 Гость №3 получает комнату №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+3=4 является квадратом.
Таким образом, каждый гость получит свою комнату в отеле.
Обозначим через P(f, r) номер посетителя, живущего в комнате r на этаже f.
Тогда:
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454
Найдите сумму P(f, r) для всех f и r, таких что f² + r² = 14234886498625 .

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. Число N - наименьшее число кусков, на которое ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями.

Сколько существует различных разбиений пирога на таких N кусков?

Замечания.

1. Нужно считать только разбиения на куски, кратные 1/(7*8*9) части пирога.

2. Если из какого-то разбиения можно скомпоновать нужные части несколькими способами, то это разбиение всё равно считается только один раз.