Дано множество простых чисел, не превышающих 5000:
S = {2, 3, 5, ..., 4999}
Найдите, сколько оно содержит подмножеств, у которых количество элементов нечетно, а сумма элементов является простым числом.
В качестве ответа укажите последние 16 знаков результата.

Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.