На шахматной доске стоят 4 коня на разных клетках одного цвета. За один ход все кони одновременно перемещаются на другую клетку, при этом на одной клетке могут находиться несколько коней. Необходимо собрать всех коней на одной клетке за минимальное число ходов. Какое наибольшее число ходов придется сделать при наихудшем изначальным расположении коней?

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием b = 16 и боковыми сторонами L = 17.

Применяя теорему Пифагора, видим, что высота треугольника
h = √(17² - 8²) = 15, что на единицу меньше основания.
Для b = 272 и L = 305 мы имеем h = 273, что на единицу больше основания, и это второй по величине равнобедренный треугольник со свойством h = b ± 1.

Найдите сумму периметров десяти наименьших равнобедренных треугольников, для которых h = b ± 1 и b, L натуральные числа.

Начальная конфигурация головоломки Рубика "магические квадратики" выглядит так:

 Разрешены такие преобразования:

1. перестановка верхнего и нижнего рядов
2. циклический сдвиг вправо на один квадрат (при этом левый нижний квадрат перемещается вверх и становится левым верхним)
3. поворот по часовой стрелке четырех средних квадратов.

Конфигурацией головоломки называется любое положение квадратиков, которое возможно получить при помощи указанных преобразований.

За какое минимальное количество ходов можно гарантированно преобразовать произвольную конфигурацию в начальную.

Набор домино состоит из прямоугольных костяшек, каждая из которых разделена на две половинки линией, параллельной более короткой стороне. На каждой из половинок нарисованы точки, количество которых соответствует числу от 0 до 6 включительно. На костяшках полного набора домино обозначены все возможные различные пары чисел.

Все костяшки выкладывают в "круговые" цепочки, соединяя пары костяшек короткими сторонами, если количества точек на соседних с местом соединения половинках костяшек равны, и при этом левая половинка начальной и правая половинка последней костяшки имеют одинаковое количество точек и поэтому цепочка "закругляется". Две цепочки будем считать различными, если нельзя получить одну из другой при помощи поворота или зеркального отображения.

Сколько существует различных "круговых" цепочек состоящих из всех костяшек?

Блоха запрыгнула на круглый стол для игры в "Что? Где? Когда?" незадолго до начала очередной игры. На секторах стола уже были разложены конверты с вопросами. Блоха решила заранее прочитать все вопросы, чтобы у нее было больше времени подумать над ответами.

Круглый игровой стол поделен на 10⁹ секторов, занумерованных по часовой стрелке числами от 1 до 10⁹. Блоха запрыгнула на первый сектор. С него она может либо перебежать на соседний, либо перепрыгнуть через 2 сектора (например, если стол делится на 12 секторов, то с сектора номер 1 блоха может за одно действие попасть на сектора с номерами 2, 4, 10 и 12). Блоха хочет побывать на каждом секторе ровно 1 раз и вернуться обратно на первый сектор, откуда она спрыгнет и убежит думать над вопросами. Определите, сколькими способами она сможет совершить свое путешествие. Выведите в качестве ответа количество способов по модулю 10⁹+9.

Выберем три различные буквы из русского алфавита (содержащего, как известно, 33 буквы). Из них сформируем строку длиной 3 знака, например, 'абв', 'пар' или 'юэь'.
В строке 'абв' ровно две буквы стоят сразу после букв, предшествующих им в алфавите.
В слове 'пар' только у одной буквы 'р' ближайший сосед слева предшествует ей в русском алфавите. В слове 'юэь' нет букв, которые стоят в алфавите после их соседа слева.
Всего из 33 букв русского алфавита можно составить 21824 трехбуквенных "слов" так, чтобы ровно у одного знака соседняя слева буква предшествовала бы ему в алфавите, и буквы в слове не повторялись.
А теперь рассмотрим строки длиной n, и обозначим через p(n) число таких "слов" длиной n, что ровно у одного знака в слове соседняя слева буква предшествует ему в алфавите, и буквы в слове не повторяются.
Найдите максимальное значение p(n).

Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).

Сколько существует таких 20-значных чисел, что в их десятичной записи сумма любых трех последовательных цифр не меньше шести, но не превышает одиннадцати?
(Числа не могут начинаться с нуля)