img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Информатика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 0
всего попыток: 1
Задача опубликована: 02.07.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg

Функция Аккермана A(m,n) рекурсивно задается для неотрицательных целых чисел m и n следующим образом:

A(m, n) = \left\{ \begin{array}{rrrrr}
n+1, m=0 \\
A(m-1, 1), m>0, n=0 \\
A(m-1, A(m, n-1)), m>0, n>0
\end{array}

Например, A(1, 0) = 2, A(2, 2) = 7 и A(3, 4) = 125.

Чему равен остаток от деления \sum A(m,n) на 148, где 0 \le m,n \le 6?

 
Задачу решили: 4
всего попыток: 9
Задача опубликована: 09.07.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Рассмотрим треугольник со сторонами 6,8 и 10. Легко подсчитать, что и его периметр, и его площадь равны 24, а отношение площади к периметру равно 1.

У треугольника со сторонами 13,14 и 15 периметр равен 42, а площадь — 84 единицам. Отношение площади этого треугольника к его периметру равно 2.

Подсчитайте, сколько существует различных треугольников с целыми сторонами, для которых отношение площади к периметру равно целому числу, не превышающему 1000.

Задачу решили: 7
всего попыток: 9
Задача опубликована: 16.07.12 08:00
Прислал: admin img
Источник:
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: levvol

Трехзначное число 376 в десятичной системе счисления обладает одним интересным свойством: его квадрат заканчивается теми же цифрами 3, 7 и 6, 3762 = 141376.Будем называть натуральные числа, обладающие этим свойством, устойчивыми.

Устойчивые числа есть и в других системах счисления. Например, в системе счисления по основанию 14 устойчивым является число c37. Действительно, c372 = aa0c37. Наибольшее 10-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления равно 7337aa0c37. В десятичной записи это число равно 149429406721.

(В 14-ичной системе счисления буквами a, b, c и d мы обозначили цифры 10, 11, 12 и 13, подобно тому, как это делается в 16-ичной системе счисления.)

Найдите наибольшее 10000-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления, переведите его в десятичную систему, а в качестве ответа укажите 8 младших десятичных цифр.

 

Задачу решили: 0
всего попыток: 1
Задача опубликована: 20.08.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 3 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Обозначим через C(x,y) окружность, проходящую через точки (x, y), (x,y+1), (x+1,y) и (x+1,y+1).

Обозначим через E(m,n) объединение m×n окружностей C(x,y), где 0≤x<m, 0≤y<n, а x, y, m и n – целые числа.

Эйлеровым циклом на E(m,n) называется замкнутый путь, включающий каждую дугу каждой окружности ровно один раз. В этой задаче мы будем рассматривать только те эйлеровы циклы, которые не имеют самопересечений. При этом участки цикла могут касаться друг друга в точках с целыми координатами, но не должны пересекаться.

На рисунке показан пример эйлерова цикла без самопересечений на E(3,3).

eu289.gif

Обозначим через L(m,n) количество эйлеровых циклов без самопересечений на E(m,n).

Например, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290.

Найдите остаток от деления  L(6,13) на 613.

 
Задачу решили: 3
всего попыток: 8
Задача опубликована: 27.08.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n?

Задачу решили: 6
всего попыток: 8
Задача опубликована: 10.09.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Назовем пифагоровым многоугольником выпуклый многоугольник, обладающий следующими свойствами:

  • Он имеет не менее  трех вершин
  • Никакие три его вершины не лежат на одной прямой
  • Все вершины имеют целые координаты
  • Все стороны многоугольника имеют целочисленную длину

Обозначим через Q(n) количество различных пифагоровых многоугольников, периметр которых равен n. При этом различными будем считать многоугольники, которые нельзя преобразовать друг в друга путем параллельного переноса.

Тогда Q(4)=1, Q(30) =1242, Q(60) =248282.

Найдите Q(120).

Задачу решили: 10
всего попыток: 12
Задача опубликована: 17.09.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. 

Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N.

Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97.

Задачу решили: 4
всего попыток: 7
Задача опубликована: 26.09.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6.

Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что 

  • k делится на 69;
  • d(k) = 69. 

Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036.

Найдите остаток от деления S(2012) на 109.

Задачу решили: 3
всего попыток: 3
Задача опубликована: 01.10.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности:

C0: x2+y2=25
C1: (x+4)2+(y-4)2=1
C2: (x-12)2+(y-4)2=65

eu295.gif

Линзы, заключенные между окружностями C0 и C1 и между C0 и C2, закрашены красным.

Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N.

Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442.

Найдите Σ L(10k), где 1 ≤ k ≤ 5.

Задачу решили: 5
всего попыток: 6
Задача опубликована: 08.10.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: bbny

Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке:

eu296.gif

Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.