Сколько чисел начинается с цифры 1 среди чисел 2ⁿ, где n=0, 1,...,10⁹?

Рассмотрим делители четырех последовательных натуральных чисел 242, 243, 244 и 245:

Число    Делители
242    1, 2, 11, 22, 121, 242
243    1, 3, 9, 27, 81, 243
244    1, 2, 4, 61, 122, 244
245    1, 5, 7, 35, 49, 245

Обратите внимание, что все эти числа имеют одинаковое количество делителей, а именно шесть.
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 10⁷, для которых числа n, n+1, n+2 и n+3 имеют одинаковое количество делителей.

Есть N² ферзей N разных определённых цветов, по N ферзей каждого цвета. Обозначим как X(N) количество способов расставить все эти ферзи на шахматной доске размера N на N так, чтобы ферзи одного цвета не находились под ударом друг друга. Чему равна сумма X(3) + X(4) + X(5) + X(6) + X(7) + X(8) + X(9) + X(10)? (Координаты клеток доски, а также цвета ферзей, однозначно определены, поэтому разные позиции, подучающиеся одна от другой поворотом, симметрическим отображением или сменой цветов, считаются разными).

Автоморфные числа - это числа, десятичная запись квадрата которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, число 5 (5²=25) или 6 (6²=36). Эти числа составляют последовательность: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9 376, 90 625, 109 376, 890 625,... (0 не считается).

В системе счисления с основанием 14 также имеются автоморфные числа. Рассмотрим ряд из этих чисел. Найдите число, находящееся на 28-м месте в этом ряду.

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

В данной задаче мы будем рассматривать "ориентированные" тетраэдры, координаты вершин которых имеют вид:
{(x, y, z), (x+a, y, z), (x,y+a,z), (x,y,z+a)}, a>0, и x,y,z,a – целые числа. Объем такого тетраэдра равен a³/6.
Если мы захотим найти общий объем объединения нескольких ориентированных тетраэдров, то, возможно, он окажется меньше суммы их объемов, если некоторые из тетраэдров пересекаются.
Построим последовательность ориентированных тетраэдров T₁, T₂, …, T_n,… следующим образом:
x_n = S_4n-3 (mod 10000)
y_n = S_4n-2 (mod 10000)
z_n = S_4n-1 (mod 10000)
a_n = 1+S_4n (mod 699),
а S_k  получены при помощи генератора случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
При 1≤k≤55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (mod 1000000), и при 56≤k, S_k = [S_k-24  + S_k-55 ] (mod 1000000).
(p (mod q) означает остаток от деления p на q.)
Таким образом, у тетраэдра T₁ x =7, y=53, z=183, a=655, у тетраэдра T₂ x =863, y=1497, z=2383, a=112 и т.д.
Объем объединения первых 300 ориентированных тетраэдров T₁ … T₃₀₀ равен 3999927695 (по счастливому совпадению это число оказалось целым).
Найдите объем объединения первых 50000 ориентированных тетраэдров T₁ … T₅₀₀₀₀ (благодаря еще одному счастливому совпадению это число тоже целое).

Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.

Рассмотрим число
G(n) = (n²)!/(n!)ⁿ,
где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число.
Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:

1680=2⁴×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7,
и
2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23.
Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.

Найдите сумму простых множителей числа G(4444).

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.