![]()
Лента событий:
sternfeb решил задачу "Биссектрисы треугольника и их отрезки" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
13
Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми. Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175). А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h? ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO. Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным. Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|2+|BC|2+|CD|2+|AD|2 ≤ N.. Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. Найдите B(10 000 000 000).
![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
7
Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево. Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора. Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м2, а отношение площади к длине ограды равно 125. Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*2502 м2, длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125. Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м2, длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.
Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов. ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.
Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r. Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами. Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r). Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr2)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник. Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748. Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого. ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
9
Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2i×3j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными. Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (21×30 + 21×31 + 20×32) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (24×30 + 20×30) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (23×30 + 20×32). Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения: 11 = 2 + 9 = (21×30 + 20×32) 11 = 8 + 3 = (23×30 + 20×31) Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2. Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641. Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
5
Последовательность Голомба {G(n)} определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n) вхождений каждого натурального числа n.
Можно подсчитать, что G(210) = 87, G(220) = 6320, и что ΣG(2n) = 857297 при 1 ≤ n < 30. Найдите ΣG(2n)для 1 ≤ n < 60. ![]()
Задачу решили:
10
всего попыток:
22
Возьмем матрицу n×n, выберем из нее n элементов так, чтобы никакие два из них не стояли в одной строке или столбце, и найдем их сумму. Минимальное значение такой суммы будем называть матричной суммой для данной матрицы. 7 53 183 439 863 матричной суммой будет число 1075=7+79+343+343+303. Найдите матричную сумму для матрицы: 7 53 183 439 863 497 383 563 79 973 287 63 343 169 583 ![]()
Задачу решили:
8
всего попыток:
16
Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28: 5710=3214=2128 В обоих случаях
При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления. Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28. Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165. Найдите сумму n (1<n<1012), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления. ![]()
Задачу решили:
8
всего попыток:
9
В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других. Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0. Например:
Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588. Найдите S(10 000 000).
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|