Найти сумму таких натуральных чисел n, для которых n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13 и n²+21 являются последовательными простыми числами, и n < 150 000 000.

На рисунке изображена решетка размером 3x2, состоящая из вертикальных, горизонтальных и наклонных отрезков. Для данной решетка существует 37 прямоугольников, вершины которых лежат на узлах решетки.

Есть пять решеток меньшего размера: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2 (каждое из измерений этих решеток не превосходит соответствующего измерения нашей решетки 3x2). Подсчитаем, сколько прямоугольников можно разместить на узлах этих решеток:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Сложив все эти числа, получим, что 1+4+8+4+18+37=72 различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 3x2 и меньших.

Сколько различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 300x200 и меньших?

Легко видеть, что числа в первых пяти строках треугольника Паскаля не делятся на 5:

Однако, рассмотрев первые сто строк, мы найдем, что 2800 чисел из 5050 кратны пяти.
Сколько чисел в первом миллиарде строк будут кратны пяти?

Посмотрите на таблицу. Легко проверить, что максимальная сумма чисел, стоящих подряд вдоль одного из диагональных направлений, равна 16 (= 8 + 7 + 1).

Давайте теперь рассмотрим ту же задачу для таблицы большего размера. Для этого будем использовать генератор случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
Для 1≤k≤55, s_k = [100003 - 200003·k + 300007·k³)] (mod 1000000) - 500000.
Для 56≤k≤4000000, s_k = [s_k-24 +s_k-55 + 1000000] (mod 1000000) - 500000.
(Здесь x(mod y) означает остаток от деления x на y).
Например, s₁₀ = -393027 и s₁₀₀ = 86613.

Заполним при помощи первых четырех миллионов чисел этого генератора таблицу 2000×2000. Заполнять таблицу будем последовательно, строка за строкой.
Найдите максимальную сумму чисел, стоящих подряд вдоль какого-либо из диагональных направлений в получившейся таблице.

В числовом треугольнике, составленном из целых чисел, мы хотим найти такой числовой треугольник меньшего размера, чтобы сумма составляющих его чисел была максимальна.
В примере на рисунке красным цветом выделен такой максимальный треугольник. Сумма составляющих его чисел равна 42.

 
Теперь мы хотим решить эту задачу для треугольника побольше. Наш треугольник будет состоять из 1000 строк. Чтобы его заполнить, сгенерируем 500500 псевдослучайных чисел s_k в диапазоне от -2¹⁹ до 2¹⁹, используя следующий линейно-конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел:
t := 0
для k от 1 до 500500:
    t := (615949*t + 797807) (mod 2²⁰)
    s_k := t-2¹⁹
Тогда получим: s₁ = 273519, s₂ = -153582, s₃ = 450905,  а исходный треугольник будет выглядеть следующим образом

 s₁
s₂  s₃
s₄  s₅  s₆
s₇  s₈  s₉  s_10
...

Искомый треугольник может начинаться с любого числа и продолжаться сколь угодно далеко вниз, включая в себя два примыкающих элемента из следующей строки, три элемента из строки следующей за нею, и т.д. Определим сумму треугольника как сумму всех входящих в него элементов.
Найдите наибольшую сумму треугольника, для всех треугольников, которые можно построить указанным способом.

Типография каждый день выполняет 16 заказов. Для каждого заказа необходим лист специальной бумаги формата A5.
Каждое утро бригадир открывает новый конверт, содержащий большой лист формата A1.

Он разрезает лист пополам. В результате получается два меньших листа формата A2, один из которых он снова режет пополам, и т.д., пока не получится лист формата A5.
Все неиспользованные листы он складывает обратно в конверт.
Приступая к выполнению следующего заказа, он берет из конверта наугад первый попавшийся лист. Если этот лист имеет формат A5, он сразу же идет в дело. Если же лист окажется больше, к нему применяется та же процедура "половинного деления", что и к исходному листу, пока не получится формат A5, а оставшиеся неиспользованными листы разного формата каждый раз убирают обратно в конверт.
Найдите среднее число раз в году, когда бригадир, открыв конверт, находит там ровно два листа. Считайте, что в году 249 рабочих дней, а результат округлите до целого.

Попробуем записать число 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел. Например, используя числа {2, 5, 6, 10, 15, 30}:

Используя числа до 45 включительно, это можно сделать четырьмя способами. Вот соответствующие наборы чисел:
{2, 5, 6, 10, 15, 30}
{2, 5, 7, 10, 14, 15, 21, 30}
{2, 4, 12, 14, 15, 20, 28, 42}
{2, 6, 7, 9, 10, 12, 20, 28, 35, 36, 45}
Сколькими способами можно записать 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел, не превышающих 80?

Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Электрическая цепь состоит из одинаковых конденсаторов емкостью C. Конденсаторы можно соединять последовательно или параллельно в блоки, которые также можно соединять последовательно или параллельно в "суперблоки" большего размера, и так далее.

Используя эту процедуру и не более n одинаковых конденсаторов, мы можем собрать некоторое количество цепей различной суммарной емкости. Например, используя не более 3 конденсаторов с электрической емкостью 60μF каждый, мы можем получить 7 различных значений общей емкости цепи:

(Известно, что, соединяя конденсаторы C₁, C₂ … параллельно, мы получим общую емкость C_T=C₁+C₂+..., а соединяя последовательно – общую емкость )
Если мы обозначим через D(n) количество различных значений емкости электрических цепей, которые можно собрать, используя не более n одинаковых конденсаторов, то получим D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7,...
Найдите D(19).