Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Вагоны поезда обозначены буквами латинского алфавита: A,B,C,D..., и последовательность вагонов в железнодорожном составе можно задать с помощью соответствующей цепочки букв.

В правильно сформированном составе вагоны должны следовать алфавитном порядке. Добиваются этого на сортировочной станции, где установлен большой поворотный круг.

Когда состав въезжает на круг, несколько последних вагонов отцепляют, после чего локомотив с остальными вагонами съезжает с круга. Вагоны, стоящие на круге, поворачивают на 180 градусов и вновь прицепляют в хвост состава, но уже в обратном порядке. Эту операцию повторяют несколько раз, пока не достигают желаемого результата.

В некоторых случаях сформировать состав совсем просто. Например, когда исходный порядок вагонов ADCB, вагоны можно расцепить между A и D, затем развернуть фрагмент DCB, и, наконец, сцепить вагоны в нужном порядке. Результат достигается всего за один шаг, т.е. за один поворот круга на 180 градусов.

Возможно, процесс можно оптимизировать, но машинист пользуется совсем простым алгоритмом. Сначала он стремиться прицепить вагон A следом за паровозом, затем следом за ним вагон B, и так далее.

Машинист выяснил, что для состава из четырех вагонов потребуется не более 5 шагов. Максимальное количество - 5 операций - требуется для двух начальных последовательностей, а именно DACB и DBAC. Последовательности вагонов, требующие наибольшего количества операций для упорядочения, будем называть пессимальными.

Порядок формирования состава для начальной последовательности  DACB показан на рисунке.

Для состава из шести вагонов машинист составил список пессимальных последовательностей. Список содержал 24 последовательности. Последовательности он расположил в алфавитном порядке, и цепочка DFAECB оказалась на десятом месте от начала.

Представьте, что вам поручили составить список пессимальных последовательностей для составов из 11 вагонов и упорядочить получившийся список в алфавитном порядке.

На каком месте в списке окажется последовательность CIAKBGHFJDE?

"Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной"
Передур, сын Эвраука

Первоначально каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца, независимо от масти, может заблеять в очередной раз. Передур стремится максимизировать количество черных овец. Для этого он может прогонять прочь любое количество белых овец, но делать это он может лишь после того, как заблеяла очередная овца и до того, как овца с противоположного берега вошла в реку.
Пусть E(n) – ожидаемое количество черных овец, которое останется у Передура при оптимальной стратегии. Например, E(5) ≈ 6.871346…
Найдите наименьшее n, для которого E(n)>20000.

Последовательность Голомба {G(n)}  определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n)  вхождений каждого натурального числа n.
Вот несколько первых значений G(n):

Можно подсчитать, что G(2¹⁰) = 87, G(2²⁰) = 6320, и что ΣG(2ⁿ) = 857297 при 1 ≤ n < 30.

Найдите ΣG(2ⁿ)для 1 ≤ n < 60.

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.

Возьмем матрицу n×n, выберем из нее n элементов так, чтобы никакие два из них не стояли в одной строке или столбце, и найдем их сумму. Минимальное значение такой суммы будем называть матричной суммой для данной матрицы.
Например, для матрицы:

  7  53 183 439 863
497 383 563  79 973
287  63 343 169 583
627 343 773 959 943
767 473 103 699 303

матричной суммой будет число 1075=7+79+343+343+303.

Найдите матричную сумму для матрицы:

  7  53 183 439 863 497 383 563  79 973 287  63 343 169 583
627 343 773 959 943 767 473 103 699 303 957 703 583 639 913
447 283 463  29  23 487 463 993 119 883 327 493 423 159 743
217 623   3 399 853 407 103 983  89 463 290 516 212 462 350
960 376 682 962 300 780 486 502 912 800 250 346 172 812 350
870 456 192 162 593 473 915  45 989 873 823 965 425 329 803
973 965 905 919 133 673 665 235 509 613 673 815 165 992 326
322 148 972 962 286 255 941 541 265 323 925 281 601  95 973
445 721  11 525 473  65 511 164 138 672  18 428 154 448 848
414 456 310 312 798 104 566 520 302 248 694 976 430 392 198
184 829 373 181 631 101 969 613 840 740 778 458 284 760 390
821 461 843 513  17 901 711 993 293 157 274  94 192 156 574
 34 124   4 878 450 476 712 914 838 669 875 299 823 329 699
815 559 813 459 522 788 168 586 966 232 308 833 251 631 107
813 883 451 509 615  77 281 613 459 205 380 274 302  35 805

Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28:

57₁₀=321₄=21₂₈

В обоих случаях 

• последней цифрой оказалась единица, 
• цифры в записи числа убывают, 
• каждая последующая цифра меньше предыдущей на единицу. 

При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления.

Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28.

Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165.

Найдите сумму n (1<n<10¹²), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления.

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

Многие числа могут быть представлены в виде суммы куба и квадрата, а некоторые из них даже несколькими способами.
Рассмотрим число 37873.
Во-первых, оно может быть записано в виде суммы куба и квадрата тремя способами:

37873 = 18³+179² = 22³+165² = 33³+44²

Во-вторых, оно является палиндромом, то есть его десятичная запись читается слева направо и справа налево одинаково.

Найдите сумму палиндромов, не превышающих миллиарда, которые можно представить в виде суммы куба и квадрата не менее чем тремя способами.

По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:

• Если он находится на черной клетке, он перекрашивает клетку в белый цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов против часовой стрелки и переходит в соседнюю клетку.
• Если он находится на белой клетке, он перекрашивает клетку в черный цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов по часовой стрелке и переходит в соседнюю клетку.

Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Найдите |x|+|y| после 10¹⁸ шагов.