Рассмотрим числа t(n) вида 2n²-1 при n>1. Вот первые восемь таких чисел:
7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161
Шесть из них – простые, и только два (49=7×7 и 161=7×23) – составные. Сумма простых t(n) при n≤9 равна 7+17+31+71+97+127=350. Сумма простых t(n) при n≤10000 равна 135049480088. Найдите сумму простых t(n) при n≤3?10⁷. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

k-значное натуральное число называется сбалансированным, если сумма его первых  [k/2]  цифр его равна сумме последних  [k/2] цифр. Здесь  x  обозначает округление вверх, например, [π] = 4 и [5] = 5.
Понятно, что все палиндромы являются сбалансированными, как и число 13722.
Обозначим через T(n) сумму всех сбалансированных чисел, меньших, чем 10ⁿ.
Например, T(1) = 45, T(2) = 540 and T(5) = 334795890.
Найдите остаток от деления T(2000) на 3¹⁵.

Пусть A и B - битовые последовательности,  составленные из нулей и единиц.
Если A состоит из k битов и совпадает с отрезком  длиной k, с которого начинается B (k левых битов), то A называют префиксом B.
Например, 00110 является префиксом последовательности 001101001, но не  является префиксом последовательностей 00111 и 100110.
Префиксным кодом длины n будем называть набор из n битовых последовательностей, ни одна из которых них не является префиксом другой.
Вот, например, префиксный код длины 6:
00, 010,011,100,101,1111

Теперь предположим, что затраты на передачу нуля составляют 1 копейку, а затраты на передачу единицы - 4 копейки. Тогда стоимость вышеприведенного кода составит 2+6+9+6+9+16=48 копеек. Это далеко не самый дешевый код. Самый дешевый код длины 6 стоит 35 копеек и может быть реализован двумя способами:
1,01,00000,001,0001,00001
0000,01,10,001,0001,11

А сколькими способами может быть реализован самый дешевый код длиной 946583626

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.

Будем называть натуральное число A александрийским, если есть такие целые p, q, r, что
A = p·q·r и 1/A=1/p+1/q+1/r.
Примером александрийского числа является 630 (p = 5, q = -7, r = -18). Вот семь первых александрийских чисел:
6, 42, 120, 156, 420, 630, 930.
930 – наибольшее александрийское число, не превышающее 1000.
Найдите наибольшее александрийское число, не превышающее 1,5?10¹⁵.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка тупоугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² - 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка тупоугольных треугольников, стороны которых не превышают 30 000 000.

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем квадратный корень из несократимой дроби r/s (s≤d), такой, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p²/q²-x| < |r²/s²-x| => q>d.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений ³√n со знаменателем, не большим, чем 10¹⁰, для всех простых чисел n, не превышающих 100000.

Последовательность 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... определена следующим образом:
1. T₁ = T₂ = T₃ = 1
2. T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3.
Можно показать, что число 27 не является делителем ни одного из членов этой последовательности, и это первое нечетное число, обладающее данным свойством.
Вот все нечетные числа, не превышающие 100 и не являющиеся делителями членов данной последовательности:
27, 81, 91
Их сумма равна 199.
Найдите сумму всех нечетных чисел, не превышающих 2011 и не являющихся делителями членов данной последовательности.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?