Имеется 2009 мешочков с 1, 2, 3,..., 2008 и 2009 монетами. Каждый день разрешается взять из одного или нескольких мешочков по одинаковому числу монет. За какое минимальное число дней можно взять все монеты? 

На полу коридора длиной 120 метров лежат 25 ковровых дорожек общей длиной 600 метров. Каково максимально возможное число кусков пола, не застеленных дорожками?

У Вас есть два одинаковых стеклянных шарика. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 36-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить оба шарика. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

В стране 21 аэропорт. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждой из которых разрешается совершать любые рейсы между 5 аэропортами. При каком наименьшем числе авиакомпаний можно перелететь из любого аэропорта в любой другой без пересадки?

Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Сколько девушек участвовали в турнире? (Турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии — одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью — 1/2 очка, за проигрыш — 0.)

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

Перед двумя игроками кучка из 111 спичек. Каждый из них своим ходом берёт из неё от 1 до 11 спичек — любое число на своё усмотрение. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока?

На билете лотереи имеется 60 пустых клеток. Участник лотереи записывает в каждую клетку билета по одному числу от 1 до 60 без повторений. (Билет, заполненный с повторениями, считается недействительным.)  Организаторы лотереи по тем же правилам заполняют свой билет–эталон. Выигрывают те билеты, у  которых хотя бы в одной клетке записано то же число, что и в той же клетке билета–эталона. Какое наименьшее число билетов должен заполнить участник лотереи, чтобы обеспечить себе выигрыш независимо от того, как будет заполнен билет–эталон?

Перед двумя игроками 4 кучки из спичек: в первой — 11, во второй — 29, в третьей — 37 и в четвёртой — 41 спичка. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из любой кучки по своему выбору — можно взять хоть всю кучку, но брать спички из разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите произведение количества взятых спичек и номера кучки.