Стоимость билета в кино составляет 50 рублей. В очереди в кассу стоит 2012 зрителей. 1006 из них имеет только купюры по 50 рублей,
остальные — только по 100 рублей. У кассира  перед началом продаж нет денег. Определите вероятность того, что все зрители посмотрят фильм.

Дано N натуральных чисел, не превосходящих 100000. Известно, что все числа различны, и ни одно из них не равно произведению двух других.

Найти максимальное N.

Так называемая кубковая система определения победителя из восьми спортсменов состоит в разбиение игроков на пары с помощью жеребьевки. Четыре матча определяют четырех победителей, которые участвуют во втором туре; третий тур соревнования является финалом. Победитель финального матча получает первый приз, а его соперник получает второй приз. Будем считать, что каждый игрок имеет определенную силу (подобно тому, как каждый предмет имеет определенный вес) и что более сильный игрок всегда выигрывает у более слабого (подобно тому, как более тяжелый предмет всегда перевешивает более легкий, если они помещены на разные чаши весов). В таких предположениях описанный выше процесс годен для определения чемпиона, т.к. победитель действительно будет сильнее всех своих соперников; однако второе место вовсе не всегда будет занято вторым по силе игроком.

Какова вероятность того, что второй участник финального матча в самом деле достоин второго приза?

У бедного мальчика Саши всего 300 монет, и к тому же ровно одна из них фальшивая (легче настоящей). У жадного мальчика Кости есть весы, но за каждое взвешивание он берет с Саши плату: два рубля, если перевесила левая чашка, и один рубль при любом другом исходе. Какую наименьшую сумму должен приготовить Саша, чтобы заведомо определить фальшивую монету с помощью Костиных весов?

Алекс и Борис бегут супермарафон длиной 70 км. Скорость Алекса 7 км/ч, а Бориса - 10 км/ч. Однако Борис в любой момент может изменить скорость на 5 км/ч и бежать медленнее до самого конца. С какой вероятностью Алекс победит?

18 монет пронумерованы с 1 до 18. Первому игроку известно, что монеты с номерами 1,2,...,9 настоящие, а монеты с номерами 10,11,..,18 - фальшивые. Обоим игрокам известно, что фальшивые монеты легче, чем настоящие (при этом все фальшивые весят одинаково, и все настоящие весят одинаково). Второму игроку неизвестно, ни сколько монет фальшивых, ни их номера. За какое минимальное количество взвешиваний на весах без гирек первый игрок может доказать второму, что монеты 1,2,...,9 - настоящие, а 10,11,..,18 - фальшивые?

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого).

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ "да" надо заплатить 2 рубля, за ответ "нет" — 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка — черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A — количество черных отрезков на периметре, B — количество белых, и пусть многоугольник состоит из 28 черных и 16 белых клеток. Чему равно A-B?

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету? В ответе дайте количество взвешиваний.