Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 3 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 229. Сумма и произведение нечётных чисел (М.Концевич)

Задачу решили: 73

всего попыток: 215

Задача опубликована: 30.09.09 08:25

Прислал: demiurgos

Источник: Турнир городов

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

nellyk

Сумма n нечётных чисел совпадает с их произведением. Какие значения может принимать n? В ответе введите число возможных значений n, удовлетворяющих неравенству 1 ≤ n ≤ 2009.

+ЗАДАЧА 235. 10 из 2009 (Г.А.Гальперин)

Задачу решили: 55

всего попыток: 74

Задача опубликована: 06.10.09 14:03

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Loks

Существуют ли 2009 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 10 простых?

+ЗАДАЧА 477. Последняя цифра

Задачу решили: 93

всего попыток: 217

Задача опубликована: 02.12.10 08:00

Прислал: Busy_Beaver

Источник: Putnam Competition

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

emm76

Чему равна последняя цифра числа [10²⁰⁰⁰⁰/(10¹⁰⁰+3)], где [x] означает "целая часть числа x"?

+ЗАДАЧА 525. Симметричные пирамиды (А.Белов)

Задачу решили: 50

всего попыток: 142

Задача опубликована: 11.01.11 08:00

Прислал: demiurgos

Источник: Всероссийская олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Две треугольные пирамиды центрально симметричны относительно общей вершины, объём каждой пирамиды — 2010. Найдите объём фигуры, состоящей из середин всех отрезков, концы которых принадлежит разным пирамидам.

+ЗАДАЧА 534. Мало данных II

Задачу решили: 20

всего попыток: 132

Задача опубликована: 24.01.11 08:00

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Точка A лежит вне прямой a, на которой отмечены 2011 различных точек. Известно, что расстояние от точки A до прямой a, а также между любыми двумя из всех упомянутых 2012 точек является целым числом. Найдите наименьшее возможное расстояние между прямой a и точкой A.

+ЗАДАЧА 547. Максимальный НОД

Задачу решили: 36

всего попыток: 159

Задача опубликована: 25.02.11 08:00

Прислал: ZARIF

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Shamil

Натуральные числа a и b таковы, что число — целое и . Каков максимально возможный наибольший общий делитель чисел a и b?

(Задача отредактирована, как предложил Vkorsukov.)

+ЗАДАЧА 562. Пары чисел и делимость

Задачу решили: 49

всего попыток: 63

Задача опубликована: 01.04.11 08:00

Прислал: Busy_Beaver

Источник: Международная олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

volinad (Владимир Алексеевич Данилов)

Сколько существует пар целых чисел (m>2, n>2), для каждой из которых существует бесконечно много таких натуральных чисел k, что (k^m+k−1) делится на (kⁿ+k²−1)?

+ЗАДАЧА 668. Треугольники в пространстве

Задачу решили: 45

всего попыток: 369

Задача опубликована: 05.12.11 08:00

Прислал: Volga

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: арифметика

, стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

В трёхмерном пространстве рассмотрим все такие треугольники, что координаты их вершин задаются целыми числами из набора [0,1,2,3,4]. Сколько всего среди этих треугольников равносторонних?

+ЗАДАЧА 711. Равные площади

Задачу решили: 22

всего попыток: 101

Задача опубликована: 12.03.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Через точку $A$ на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая $l$ на расстоянии $\frac{1}{2}$ от ее центра $O$ . На прямой $l$ вне окружности и слева от точки $A$ отметим на расстоянии $n_i$ от нее точку $B_i$ , а на расстоянии $m_i$ слева от точки $B_i$ - точку $C_i$ и проведем через них окружности с центром в т. $O$ так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник $T_i=D_i E_i F_i$ .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке.

Если $n_k$ и $m_k$ натуральные числа, существует $k$ точек $B_k$ и соответствующих им точек $C_k$ таких, что площади всех треугольников $T_k$ равны, причем $S( T_k )$ $=18480$ . Найдите все такие точки $B_k$ , в ответе укажите сумму соответствующих им $n_k$ .

Пред. 1 2 3 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию


Окно