I. Найдите количество эллипсов

x²/a² + y²/b² = 1

(a и b натуральные, a>b, a+b=6630), на каждом из которых лежат ровно 36 точек с целочисленными координатами.

II. То же самое, только a+b=8125 (вместо 6630)

Введите в ответе сумму этих двух количеств (I и II).

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич
из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше,
чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое,
а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?

В числовом ребусе
ДРА + КОН + 1 = ЗМЕЯ
разным буквам соответствуют разные цифры. Какие различные «счастливые» значения может принимать ЗМЕЯ? (Число является «счастливым», если суммы первых и последних двух цифр равны.)

В ответе укажите сумму всех различных «счастливых» значений ЗМЕЯ.

Найдите количество точек с целочисленными координатами на правой ветви (x>0) гиперболы

 x²/2² – y²/3² = 2025²

Вводите в ответе квадрат этого числа.

Найдите количество упорядоченных восьмёрок целых чисел A, B, C, D, E, F, G, H, каждое из которых в пределах от  -10  до  +10  включительно, для которых существуют такие  рациональные числа α, β, γ, δ, что выполняется равенство:

 (A + B√2 + C√3 + D√6) / (E + F√2 + G√3 + H√6) = α + β√2 + γ√3 +δ√6

(0! + 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + 2024*2024!)/(2024!) = ?

Пусть величины a, b и c являются длинами сторон некоторого треугольника, а величины U и V определены на a, b и c следующим образом:
U³ = (a² + bc)(b² + ca)(c² + ab),
V = (a² + b² + c²)/2.

Чему равно sign(U/V-1), где функция sign(x) равна 1, если x>0; равна 0, если x=0 и равна -1, если x<0.

Рассмотрим треугольную сетку точек в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся 8 точек:

На следующем рисунке изображён пример фигуры, границей которой

является замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её стороны лежат на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.
• Она имеет поворотную симметрию 3-го порядка.

Фигура в этом примере состоит из 34-х маленьких треугольников.

Найдите наибольшее количество маленьких треугольников, из которых может состоять фигура, граница которой является ломаная со всеми указанными свойствами, на треугольной сетке равностороннего треугольника с 15-ю точками на стороне.

Пусть x є R, y є R, таковы, что x = y*(3 – y)² и y = x*(3 – x)². Найдите все возможные суммы (x + y), а также целые части от выражений (x + y + ½), то есть, величины [x + y + ½], где квадратные скобки обозначают функцию целой части.

В ответе укажите сумму всех полученных чисел [x + y + ½], соответствующих всем решениям исходной системы.

Например, если бы величина [x + y + ½] принимала только следующие значения, и только с указанной кратностью: 0; 6 (кратность 2); 7; 9; 13 (кратность 2) и 27, то ответ был бы равен 81 (причем, в данном примере двукратные величины 6 и 13 повторяются).

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера: