В параллелограмме АВCD на стороне ВС отмечена точка К так, что АК является биссектрисой угла А, отрезок KD является биссектрисой угла АКС.

Длина отрезка КС равна целому числу, отношение длины отрезка ВК к длине отрезка КС равно целому числу. Найдите миллиардную (по возрастанию) целочисленную площадь параллелограмма.

Рассмотрим выпуклые многоугольники, вершины которых имеют целые координаты, а стороны наклонены к оси X под углами, кратными 45-и градусам.

Обозначим f(n) – количество таких различных (попарно не конгруэнтных) многоугольников, площадь которых равна n.

Найдите произведение f(1) × f(2) × f(3) × f(4) × f(5).

Неперпендикулярные прямые u и v пересекаются в точке M₀. Отличная от неё точка M₁ находится на прямой u.

Рассмотрим последовательность отрезков одинаковой длины M₀M₁, M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, ... и т.д., где местоположения точек M₂, M₃, M₄, и т.д. определим на прямых v и u поочерёдно следующим образом.

• Из нечётной точкм M_2k-1 на прямой u опустим перпендикуляр M_2k-1P_2k-1 на прямую v. Определим точку M_2k на прямой v таким образом, что точка P_2k-1 будет серединой отрезка M_2k-2M_2k.

• Из чётной точкм M_2k на прямой v опустим перпендикуляр M_2kP_2k на прямую u. Определим точку M_2k+1 на прямой u таким образом, что точка P_2k будет серединой отрезка M_2k-1M_2k+1.

Пусть острый угол между прямыми u и v равен α. Определим функцию f(α) как наименьшее натуральное число n, такое, что точка M_n совпадёт с точкой M₀. Если такое число не существует, определим f(α)=-1.

Найдите f(32°)+f(33°).

Замечание. Местоположения некоторых точек могут совпадать.