В параллелограмме АВCD на стороне ВС отмечена точка К так, что АК является биссектрисой угла А, отрезок KD является биссектрисой угла АКС.

Длина отрезка КС равна целому числу, отношение длины отрезка ВК к длине отрезка КС равно целому числу. Найдите миллиардную (по возрастанию) целочисленную площадь параллелограмма.

Рассмотрим выпуклые многоугольники, вершины которых имеют целые координаты, а стороны наклонены к оси X под углами, кратными 45-и градусам.

Обозначим f(n) – количество таких различных (попарно не конгруэнтных) многоугольников, площадь которых равна n.

Найдите произведение f(1) × f(2) × f(3) × f(4) × f(5).

Неперпендикулярные прямые u и v пересекаются в точке M₀. Отличная от неё точка M₁ находится на прямой u.

Рассмотрим последовательность отрезков одинаковой длины M₀M₁, M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, ... и т.д., где местоположения точек M₂, M₃, M₄, и т.д. определим на прямых v и u поочерёдно следующим образом.

• Из нечётной точкм M_2k-1 на прямой u опустим перпендикуляр M_2k-1P_2k-1 на прямую v. Определим точку M_2k на прямой v таким образом, что точка P_2k-1 будет серединой отрезка M_2k-2M_2k.

• Из чётной точкм M_2k на прямой v опустим перпендикуляр M_2kP_2k на прямую u. Определим точку M_2k+1 на прямой u таким образом, что точка P_2k будет серединой отрезка M_2k-1M_2k+1.

Пусть острый угол между прямыми u и v равен α. Определим функцию f(α) как наименьшее натуральное число n, такое, что точка M_n совпадёт с точкой M₀. Если такое число не существует, определим f(α)=-1.

Найдите f(32°)+f(33°).

Замечание. Местоположения некоторых точек могут совпадать.

Дана квадратная решётка n×n точек. Расстояния между соседними точками равны 1.

Найдите площадь объединения n×n кругов радиуса 1 с центрами в точках решётки, если n=7.

Результат умножьте на 1000 и введите целую часть произведения.

Докажите, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный. Нельзя использовать тригонометрию, теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и формулу Герона.

Дан треугольник со сторонами 100, 70, 85. Кривая L это геометрическое место точек, из которых этот треугольник виден под углом π/6. На рисунке изображены зелёным цветом два её фрагмента.

Вычислите длину кривой L и введите в ответе её целую часть.

1. В окружность с радиусом R=9000/π вписан треугогльник ABC с углами A=10°, B=20°, C=150°.

Кривая L является геометрическим местом точек, из которых треугольник ABC виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

2. В другую окружность с таким же радиусом R=9000/π вписан треугогльник DEF с углами D=10°, E=50°, F=120°.

Кривая M является геометрическим местом точек, из которых треугольник DEF виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

Ведите в ответе сумму двух найденных чисел.

В прямоугольнике ABCD стороны |AB|=40/π, |BC|=30/π. Кривая L является геометрическим местом точек, из которых прямоугольник виден под углом 30°. Найдите её длину.

Даны два треугольника. Один из них имеет стороны 10, 7, 15 и соответствующие углы α, β, γ.

Другой – это треугольник ABC с углами A=85°, B=40°, C=55°.

Кривая L₁ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом β. Она изображена на рисунке зелёным цветом.

Кривая L₂ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом α. Она изображена на рисунке красным цветом. Известно, что длина кривой L₁ равна 70. Найдите длину кривой L₂.

Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.

K – точка пересечения медиан треугольника ABP,
L – точка пересечения медиан треугольника BCP,
M – точка пересечения медиан треугольника CDP,
N – точка пересечения медиан треугольника DAP.

Найдите площадь четырёхугольника KLMN.