Рассмотрим треугольную сетку точек в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся 8 точек:

На следующем рисунке изображён пример фигуры, границей которой

является замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её стороны лежат на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.
• Она имеет поворотную симметрию 3-го порядка.

Фигура в этом примере состоит из 34-х маленьких треугольников.

Найдите наибольшее количество маленьких треугольников, из которых может состоять фигура, граница которой является ломаная со всеми указанными свойствами, на треугольной сетке равностороннего треугольника с 15-ю точками на стороне.

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера:

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите максимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите минимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

Рассмотрим 10-мерный гиперкуб с ребром длиной 25, сложенный из 25¹⁰ единичных гиперкубиков двух цветов: чёрных и белых. Введём такую систему координат, что:

• Все координаты центров всех единичных гиперкубиков – целочисленны.
• Начало координат находится в центре центрального единичного гиперкубика.

Таким образом, каждый из единичных гиперкубиков будет однозначно определяться 10-мерным вектором: координатами его центра. Каждая координата принимает целое значение в пределах: -12 ≤ x_i ≤ 12.

Сложим гиперкуб следующим образом.

Первоначальный (внутренний, нулевой) слой: Все единичные гиперкубики, для которых соответствующие векторы имеют не меньше трёх равных нулю координат. Их выбираем чёрного цвета.

Следующий (первый) слой: Все единичные гиперкубики, которые являются соседями гиперкубиков нулевого слоя, а сами нулевому слою не принадлежат. Их выбираем белого цвета.

Два единичных гиперкубика назовём "соседними", если они имеют хотя бы одну общую (10-мерную) точку. На рисунке

изображены примеры таких соседей в 3-мерном пространстве.

Следующий (второй) слой: Все единичные гиперкубики, которые являюися соседями гиперкубиков первого слоя, а сами не принадлежат ни нулевому слою, ни первому. Их выбираем опять чёрного цвета. И так далее, пока не будет сложен весь гиперкуб: в каждом слое выбираются все соседи предыдущего слоя, которые сами не принадлежат ни одному из предыдущих слоёв, и они выбираются другого цвета, чем гиперкубики предыдущего слоя.

Определите цвета единичных гиперкубиков, которым соответствуют векторы:

1. (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
2. (10, 5, -8, 5, 5, 9, -10, -9, -3, -11)
3. (8, 11, 4, -3, 0, -11, 11, -5, 8, 0)
4. (8, 9, -5, -8, 2, 3, 6, 9, -8, 9)
5. (-3, 4, 10, 7, -9, -4, 4, 9, 1, 0)
6. (-11, -8, -10, -9, 1, -7, 6, -2, 7, 2)
7. (-6, 0, 2, 6, 8, 6, -3, 9, -12, 8)
8. (9, 4, -9, -8, -4, 5, 8, -1, 11, -11)
9. (3, -4, 6, -4, 5, 9, -1, 3, 5, 3)
10. (-12, 8, -10, -7, 2, -11, 11, 4, 8, 8)
11. (3, 1, 6, 3, -7, 8, -4, 10, -4, -12)
12. (4, 0, 5, 6, -5, -12, 8, 12, 0, -7)

Введите ответ в виде последовательности нулей и единиц, где чёрному цвету соотвествует единица, а белому – ноль.