Представить в конечном виде: C_n⁰·xⁿ−C_n¹·(x−1)ⁿ+C_n²·(x−2)ⁿ−C_n³·(x−3)ⁿ+...+(−1)ⁿ·C_nⁿ·(x−n)ⁿ, где C_n^k=n!/(k!·(n-k)!), n!=1·2·3·...·n, а 0!=1.

Определим две последовательности многочленов: S₀(x)=C₀(x)=1, C₁(x)=x, S_n+1(x)=C_n+1(x)+xS_n(x), C_n+2(x)=xC_n+1(x)+x²S_n(x)−S_n(x). Сколько различных действительных корней имеет многочлен C₂₀₁₁(x) в интервале (−1/2, 1/2)?

Расмотрим такую последовательность:
F₀ = 0,
F₁ = 1,
F₂ = 3,
F₃ = 10,
...
F_n+2 = 3F_n+1 + F_n

Сколько цифр в F_1000000 ?

Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

Найдите количество частей, на которые разбивается пятимерное вещественное пространство гиперплоскостями

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0,
x₁=1, x₂=1, x₃=1, x₄=1, x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2.

При каком значении параметра P система:

x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 8x₄ + 8x₅ = 16
x₁ + 3x₂ + 9x₃ + 27x₄ + 24x₅ = 81
x₁ + 4x₂ + 16x₃ + 64x₄ + 56x₅ = 256
x₁ - 3x₂ + 9x₃ - 27x₄ + P*x₅ = 81
x₁ - 2x₂ + 4x₃ - 8x₄ - 16x₅ = 16

не имеет решения?

I. Найдите количество эллипсов

x²/a² + y²/b² = 1

(a и b натуральные, a>b, a+b=6630), на каждом из которых лежат ровно 36 точек с целочисленными координатами.

II. То же самое, только a+b=8125 (вместо 6630)

Введите в ответе сумму этих двух количеств (I и II).

Рассмотрим 10-мерный гиперкуб с ребром длиной 25, сложенный из 25¹⁰ единичных гиперкубиков двух цветов: чёрных и белых. Введём такую систему координат, что:

• Все координаты центров всех единичных гиперкубиков – целочисленны.
• Начало координат находится в центре центрального единичного гиперкубика.

Таким образом, каждый из единичных гиперкубиков будет однозначно определяться 10-мерным вектором: координатами его центра. Каждая координата принимает целое значение в пределах: -12 ≤ x_i ≤ 12.

Сложим гиперкуб следующим образом.

Первоначальный (внутренний, нулевой) слой: Все единичные гиперкубики, для которых соответствующие векторы имеют не меньше трёх равных нулю координат. Их выбираем чёрного цвета.

Следующий (первый) слой: Все единичные гиперкубики, которые являются соседями гиперкубиков нулевого слоя, а сами нулевому слою не принадлежат. Их выбираем белого цвета.

Два единичных гиперкубика назовём "соседними", если они имеют хотя бы одну общую (10-мерную) точку. На рисунке

изображены примеры таких соседей в 3-мерном пространстве.

Следующий (второй) слой: Все единичные гиперкубики, которые являюися соседями гиперкубиков первого слоя, а сами не принадлежат ни нулевому слою, ни первому. Их выбираем опять чёрного цвета. И так далее, пока не будет сложен весь гиперкуб: в каждом слое выбираются все соседи предыдущего слоя, которые сами не принадлежат ни одному из предыдущих слоёв, и они выбираются другого цвета, чем гиперкубики предыдущего слоя.

Определите цвета единичных гиперкубиков, которым соответствуют векторы:

1. (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
2. (10, 5, -8, 5, 5, 9, -10, -9, -3, -11)
3. (8, 11, 4, -3, 0, -11, 11, -5, 8, 0)
4. (8, 9, -5, -8, 2, 3, 6, 9, -8, 9)
5. (-3, 4, 10, 7, -9, -4, 4, 9, 1, 0)
6. (-11, -8, -10, -9, 1, -7, 6, -2, 7, 2)
7. (-6, 0, 2, 6, 8, 6, -3, 9, -12, 8)
8. (9, 4, -9, -8, -4, 5, 8, -1, 11, -11)
9. (3, -4, 6, -4, 5, 9, -1, 3, 5, 3)
10. (-12, 8, -10, -7, 2, -11, 11, 4, 8, 8)
11. (3, 1, 6, 3, -7, 8, -4, 10, -4, -12)
12. (4, 0, 5, 6, -5, -12, 8, 12, 0, -7)

Введите ответ в виде последовательности нулей и единиц, где чёрному цвету соотвествует единица, а белому – ноль.