Все точки плоскости покрашены в ДВА цвета. Докажите, что на этой плоскости существует равносторонний треугольник, все вершины которого – одного цвета.

Внешняя область правильного n-угольника разбивается на f(n) частей по такому принципу: две точки принадлежат одной и той же части, тогда и только тогда, когда они видят целиком одни и те же стороны n-угольника.

Например, точки A и B на рисунке видят целиком одни и те же две стороны:

Найдите f(100)+f(101).

На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся N точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её звенья лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.

• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.

На рисунке изображён пример такой ломаной при N=5.

При каких значениях N в пределах  2 ≤ N ≤ 30  это возможно?

Введите в ответе сумму этих значений.

Равносторонний треугольник разрезан на 3n равносторонних треугольника трёх различных размеров, причём треугольников каждого размера ровно n.

В списке (20, 272, 1332, 4160, 10100)  приведены некоторые возможные значения n. Найдите сумму всех чисел из этого списка, для которых такое разрезание возможно.