Рассмотрим выпуклые многоугольники, вершины которых имеют целые координаты, а стороны наклонены к оси X под углами, кратными 45-и градусам.

Обозначим f(n) – количество таких различных (попарно не конгруэнтных) многоугольников, площадь которых равна n.

Найдите произведение f(1) × f(2) × f(3) × f(4) × f(5).

Фигура «Ёлочка» сложена из полного набора пентамино, как показано на рисунке, и украшена замкнутой гирляндой из 12 лампочек. Гирлянда является маршрутом козлотура, который, перескакивая по лампочкам "ходами козлотура" (см. рисунок), побывав ровно по одному разу в одной из клеток каждого пентамино, возвращается к исходной лампочке.

Сколько всего существует таких замкнутых маршрутов козлотура?

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите максимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите минимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

Все точки плоскости покрашены в ДВА цвета. Докажите, что на этой плоскости существует равносторонний треугольник, все вершины которого – одного цвета.

Внешняя область правильного n-угольника разбивается на f(n) частей по такому принципу: две точки принадлежат одной и той же части, тогда и только тогда, когда они видят целиком одни и те же стороны n-угольника.

Например, точки A и B на рисунке видят целиком одни и те же две стороны:

Найдите f(100)+f(101).

На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся N точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её звенья лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.

• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.

На рисунке изображён пример такой ломаной при N=5.

При каких значениях N в пределах  2 ≤ N ≤ 30  это возможно?

Введите в ответе сумму этих значений.

Центр каждой стороны квадрата соединён отрезком с одним из концов противоположной стороны, как показано на рисунке.

Квадрат разделился на 9 кусочков. Кроме этих 9-и фигур, другие фигуры получаются объединением нескольких соседних (имеющих общую сторону) кусочков.

Сколько всего фигур имеют площадь 1/5 от площади всего квадрата?

На какой день недели выходит 1 марта 2110-года по общепринятому григорианскому календарю?

На какой день недели выходит 1 марта 2110-года по юлианскому календарю, используемому православной церковью?

Введите в ответе сумму номеров обоих дней.

Номера дней недели: 1 – понедельник, ..., 7 - воскресенье

Равносторонний треугольник разрезан на 3n равносторонних треугольника трёх различных размеров, причём треугольников каждого размера ровно n.

В списке (20, 272, 1332, 4160, 10100)  приведены некоторые возможные значения n. Найдите сумму всех чисел из этого списка, для которых такое разрезание возможно.