Докажите, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный. Нельзя использовать тригонометрию, теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и формулу Герона.

Дан треугольник со сторонами 100, 70, 85. Кривая L это геометрическое место точек, из которых этот треугольник виден под углом π/6. На рисунке изображены зелёным цветом два её фрагмента.

Вычислите длину кривой L и введите в ответе её целую часть.

Красавица Осьминожка опять собирается на бал. Осталось только обуть восемь своих прекрасных ножек. Но из-за плохой погоды, кроме её 8-и пронумерованных туфелек и 8-и пронумерованных носочков, ещё нужно надеть 8 пронумерованных галош!

Сколько всего вариантов последовательности требуемых 24-х действий есть у Осьминожки?

Естественно, на каждую голую ножку можно только надевать носочек, а галошу можно надевать только на обутую ножку. Во всём остальном последовательнось действий совершенно произвольная.

1. В окружность с радиусом R=9000/π вписан треугогльник ABC с углами A=10°, B=20°, C=150°.

Кривая L является геометрическим местом точек, из которых треугольник ABC виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

2. В другую окружность с таким же радиусом R=9000/π вписан треугогльник DEF с углами D=10°, E=50°, F=120°.

Кривая M является геометрическим местом точек, из которых треугольник DEF виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

Ведите в ответе сумму двух найденных чисел.

В прямоугольнике ABCD стороны |AB|=40/π, |BC|=30/π. Кривая L является геометрическим местом точек, из которых прямоугольник виден под углом 30°. Найдите её длину.

Внешняя область правильного n-угольника разбивается на f(n) частей по такому принципу: две точки принадлежат одной и той же части, тогда и только тогда, когда они видят целиком одни и те же стороны n-угольника.

Например, точки A и B на рисунке видят целиком одни и те же две стороны:

Найдите f(100)+f(101).

Решите ребус: ИНТЕГРАЛ × РТ = ААААААААА

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные. Введите в ответе значение ИНТЕГРАЛ.

ИНТЕГРАЛ × XY = ZZZZZZZZZ

Замените одинаковые буквы на одинаковые цифры так, чтобы равенство было верным.

И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л – 8 различных цифр, 
X, Y, Z – произвольные цифры (необязательно различные, и необязательно отличные от всех цифр первой восьмёрки).

Найдите количество решений.

(Ведущие нули запрещены: И × X × Z ≠ 0)

ИНТЕГРАЛ × XY = ZZZZZZZZZ

Замените одинаковые буквы на одинаковые цифры так, чтобы равенство было верным.

И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л – 8 различных цифр,

X, Y, Z – произвольные цифры (необязательно различные, и необязательно отличные от всех цифр первой восьмёрки).

Найдите количество решений.

(Ведущие нули разрешены: любая буква может принимать значение 0; равенство типа: 02 + 0003 = 005 считается ВЕРНЫМ)

Даны два треугольника. Один из них имеет стороны 10, 7, 15 и соответствующие углы α, β, γ.

Другой – это треугольник ABC с углами A=85°, B=40°, C=55°.

Кривая L₁ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом β. Она изображена на рисунке зелёным цветом.

Кривая L₂ это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом α. Она изображена на рисунке красным цветом. Известно, что длина кривой L₁ равна 70. Найдите длину кривой L₂.