21 точка расположена в узлах решетки в форме равностороннего треугольника (рис. слева). Сколько замкнутых маршрутов, обладающих поворотной симметрией 3-го порядка, можно проложить по линиям решетки так, чтобы каждый маршрут проходил через все точки и не пересекал себя? Например, на рисунке справа показаны два различных симметричных маршрута на треугольном поле меньшего размера.

Десятиклеточный самолетик, изображенный на рисунке слева, помещается в прямоугольник 5х4, два таких самолетика помещаются в прямоугольник 8х4, три таких самолетика помещаются в прямоугольник 11х4 (на рисунке в центре и справа).

В какой прямоугольник наименьшего периметра можно поместить 7 таких самолетиков? В ответе укажите периметр этого прямоугольника.

Из спичек сложена фигура «правильной шестиугольной» формы, при этом спички образуют белые и зеленые треугольники. На рисунке приведена одна из таких фигур, у которой на стороне три белых треугольника.

Она сложена из 57 спичек, которые образуют 43 белых и зеленых треугольников. Сколько спичек потребуется, чтобы сложить такую фигуру, в которой 1333 белых и зеленых треугольников суммарно.

На плоскости задана квадратная решётка n×n точек. Расстояния между соседними точками равны 1. Нарисованы n² окружностей радиуса 1 с центрами в точках решётки. На сколько частей эти окружности делят плоскость если n = 41.

Например, при n = 3 девять окружностей делят плоскость на 41 часть.

На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся N точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• звенья ломаной лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• ломаная проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.

На рисунке изображён пример такой ломаной при N=5. Легко видеть, что ломаная нарисована звеньями трех разных направлений: суммарная длина звеньев каждого направления равна 3, 5 и 7 соответственно.

При каких значениях N в пределах 2 ≤ N ≤ 32 можно построить ломаную, у которой суммарные длины звеньев каждого направления равны? В качестве ответа введите количество подходящих N.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было поровну, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Найдите наименьшее количество треугольников каждого цвета.  

На окружности расположены точки: 2025 черных и одна белая. Рассмотрим всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с белой вершиной или без неё? В ответе укажите модуль разность между количествами таких многоугольников.

На плоскости проведено n прямых, которые, пересекаясь между собой, образуют n не перекрывающих друг друга пятиконечных звёзд, то есть число звезд оказалась равным числу прямых. На рисунке показан пример для n=57. Придумайте конструкцию для n<57.

Уточнения.
1). Звезды не обязательно равные;
2). Прямые не обязательно параллельны.

На плоскости заданы следующие точки: L₁, L₂, L₃, R₁, R₂, R₃ и проведены отрезки: L₁R₂ и L₂R₁, L₂R₃ и L₃R₂, L₁R₃ и L₃R₁, а также отрезок MN, где: M – точка пересечения отрезков L₁R₂ и L₂R₁, N - точка пересечения отрезков L₂R₃ и L₃R₂. Эти 7 отрезков делят плоскость на несколько непересекающихся областей. Среди этих областей имеются различные многоугольники.

Вычислите и введите в ответе такое число: количество 3-угольников + умноженное на 10 количество 4-угольников + умноженное на 100 количество 5-угольников.

Обратите внимание, что здесь, кроме зеленых и белых многоугольников, имеются зелено-белые многоугольники.

На иранской почтовой марке 1982 года, посвященной международному дню связи, изображена фигура, составленная из единичных кубиков.

Выясните принцип построения таких фигуры. Найдите количество кубиков в фигуре, на внешнем ребре которой 44 кубика. Например, если на внешнем ребре фигуры 2 кубика, то она составлена из 7 кубиков, если на внешнем ребре фигуры 4 кубика, то она составлена из 44 кубиков, т.д.