Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4√3. В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от вершины S, если объем пирамиды равен 18√3?

Из спичек сложена фигура «правильной шестиугольной» формы, при этом спички образуют белые и зеленые треугольники. На рисунке приведена одна из таких фигур, у которой на стороне три белых треугольника.

Она сложена из 57 спичек, которые образуют 43 белых и зеленых треугольников. Сколько спичек потребуется, чтобы сложить такую фигуру, в которой 1333 белых и зеленых треугольников суммарно.

В каждой из двух футбольных командах «МАКСИ» и «МИНИ» по одиннадцать игроков, которые надели майки с номерами от 1 до 11. Тренеры обоих команд построили игроков своих команд в круг. Каждый тренер перемножил номера соседних футболистов своего круга, и сложил полученные 11 произведений. При этом у тренера команды «МАКСИ» получилась наибольшая возможная сумма S, а у тренера команды «МИНИ» получилась наименьшая возможная сумма s. Найдите разность S – s и укажите её в ответе.

Найдите n-угольник, который можно разрезать на пять частей так, что из пяти полученных частей можно сложить:

а) один квадрат;

б) два квадрата;

в) три квадрата;

г) четыре квадрата;

д) пять квадратов.

Уточним, n-угольник во всех случаях один и тот же, способы разрезания могут отличаться и получаемые при этом квадраты не обязательно равные. В ответе укажите наименьшее n.

Две равные окружности с центрами O₁ и O₂ расположены так, что центр одной из них лежит на другой окружности, точки A и B - общие точки этих окружностей. На бо́льшей дуге AB окружности с центром O₂ отмечена точка M так, что |AM| = 33√3 и |BM| = 3√3. Найдите расстояние между точками O₁ и M.