Если существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств A и B, то говорят, что эти два множества имеют одинаковую мощность.

Иначе, одно из них обязательно имеет одинаковую мощность с каким-то подмножеством другого множества. Тогда говорят, что первое множество имеет меньшую мощность, чем второе.

Рассмотрим следующие множества:

1. Множество точек интервала (0, 1).
2. Множество точек отрезка [0, 1].
3. Множество точек шара x² + y² + z² < 5².
4. Множество всех вещественных чисел.
5. Множество всех вещественных функций, определённых на [0, 1].
6. Множество всех непрерывных вещественных функций, определённых на [0, 1].
7. Множество всех положительных чётных чисел, меньших ста.
8. Множество всех положительных нечётных чисел, меньших ста.
9. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв Т на плоскости.
10. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв М на плоскости.

Замечание. Здесь "буква Т" состоит из двух отрезков нулевой ширины, а "буква М" – из четырёх таких отрезков.

Дополните следующую таблицу

крестиками во всех клетках, стоящих на пересечении i-й строки и j-го ,столбца, если множества с номерами i и j имеют одинаковую мощность.

Сколько всего крестиков окажется в таблице?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на нижнюю грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.

Даны три попарно касающиеся внешним образом окружности. Построить окружность, которая касается их всех внутренним образом.

Сделайте это геометрической линейкой и евклидовым циркулем за как можно меньшим числом шагов (1 шаг - либо прямая, либо окружность, построенная евклидовым (схлопывающимся) циркулем.

На каждом из трех рисунков 1-3 в прямоугольной системе координат Oxy изображены парабола и прямая.

На каком из этих рисунков изображены график квадратного трехчлена и график его производной.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок охватывает объёмную фигуру, изображенную на рисунке.

Найдите площадь проекции S этой фигуры на боковую грань куба. В качестве ответа введите [100 000 000*S], где [x] целая часть числа.

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4√3. В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от вершины S, если объем пирамиды равен 18√3?

Рассмотрим 10-мерный гиперкуб с ребром длиной 25, сложенный из 25¹⁰ единичных гиперкубиков двух цветов: чёрных и белых. Введём такую систему координат, что:

• Все координаты центров всех единичных гиперкубиков – целочисленны.
• Начало координат находится в центре центрального единичного гиперкубика.

Таким образом, каждый из единичных гиперкубиков будет однозначно определяться 10-мерным вектором: координатами его центра. Каждая координата принимает целое значение в пределах: -12 ≤ x_i ≤ 12.

Сложим гиперкуб следующим образом.

Первоначальный (внутренний, нулевой) слой: Все единичные гиперкубики, для которых соответствующие векторы имеют не меньше трёх равных нулю координат. Их выбираем чёрного цвета.

Следующий (первый) слой: Все единичные гиперкубики, которые являются соседями гиперкубиков нулевого слоя, а сами нулевому слою не принадлежат. Их выбираем белого цвета.

Два единичных гиперкубика назовём "соседними", если они имеют хотя бы одну общую (10-мерную) точку. На рисунке

изображены примеры таких соседей в 3-мерном пространстве.

Следующий (второй) слой: Все единичные гиперкубики, которые являюися соседями гиперкубиков первого слоя, а сами не принадлежат ни нулевому слою, ни первому. Их выбираем опять чёрного цвета. И так далее, пока не будет сложен весь гиперкуб: в каждом слое выбираются все соседи предыдущего слоя, которые сами не принадлежат ни одному из предыдущих слоёв, и они выбираются другого цвета, чем гиперкубики предыдущего слоя.

Определите цвета единичных гиперкубиков, которым соответствуют векторы:

1. (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
2. (10, 5, -8, 5, 5, 9, -10, -9, -3, -11)
3. (8, 11, 4, -3, 0, -11, 11, -5, 8, 0)
4. (8, 9, -5, -8, 2, 3, 6, 9, -8, 9)
5. (-3, 4, 10, 7, -9, -4, 4, 9, 1, 0)
6. (-11, -8, -10, -9, 1, -7, 6, -2, 7, 2)
7. (-6, 0, 2, 6, 8, 6, -3, 9, -12, 8)
8. (9, 4, -9, -8, -4, 5, 8, -1, 11, -11)
9. (3, -4, 6, -4, 5, 9, -1, 3, 5, 3)
10. (-12, 8, -10, -7, 2, -11, 11, 4, 8, 8)
11. (3, 1, 6, 3, -7, 8, -4, 10, -4, -12)
12. (4, 0, 5, 6, -5, -12, 8, 12, 0, -7)

Введите ответ в виде последовательности нулей и единиц, где чёрному цвету соотвествует единица, а белому – ноль.