Неперпендикулярные прямые u и v пересекаются в точке M₀. Отличная от неё точка M₁ находится на прямой u.

Рассмотрим последовательность отрезков одинаковой длины M₀M₁, M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, ... и т.д., где местоположения точек M₂, M₃, M₄, и т.д. определим на прямых v и u поочерёдно следующим образом.

• Из нечётной точкм M_2k-1 на прямой u опустим перпендикуляр M_2k-1P_2k-1 на прямую v. Определим точку M_2k на прямой v таким образом, что точка P_2k-1 будет серединой отрезка M_2k-2M_2k.

• Из чётной точкм M_2k на прямой v опустим перпендикуляр M_2kP_2k на прямую u. Определим точку M_2k+1 на прямой u таким образом, что точка P_2k будет серединой отрезка M_2k-1M_2k+1.

Пусть острый угол между прямыми u и v равен α. Определим функцию f(α) как наименьшее натуральное число n, такое, что точка M_n совпадёт с точкой M₀. Если такое число не существует, определим f(α)=-1.

Найдите f(32°)+f(33°).

Замечание. Местоположения некоторых точек могут совпадать.

Рассмотрим 10-мерный гиперкуб с ребром длиной 25, сложенный из 25¹⁰ единичных гиперкубиков двух цветов: чёрных и белых. Введём такую систему координат, что:

• Все координаты центров всех единичных гиперкубиков – целочисленны.
• Начало координат находится в центре центрального единичного гиперкубика.

Таким образом, каждый из единичных гиперкубиков будет однозначно определяться 10-мерным вектором: координатами его центра. Каждая координата принимает целое значение в пределах: -12 ≤ x_i ≤ 12.

Сложим гиперкуб следующим образом.

Первоначальный (внутренний, нулевой) слой: Все единичные гиперкубики, для которых соответствующие векторы имеют не меньше трёх равных нулю координат. Их выбираем чёрного цвета.

Следующий (первый) слой: Все единичные гиперкубики, которые являются соседями гиперкубиков нулевого слоя, а сами нулевому слою не принадлежат. Их выбираем белого цвета.

Два единичных гиперкубика назовём "соседними", если они имеют хотя бы одну общую (10-мерную) точку. На рисунке

изображены примеры таких соседей в 3-мерном пространстве.

Следующий (второй) слой: Все единичные гиперкубики, которые являюися соседями гиперкубиков первого слоя, а сами не принадлежат ни нулевому слою, ни первому. Их выбираем опять чёрного цвета. И так далее, пока не будет сложен весь гиперкуб: в каждом слое выбираются все соседи предыдущего слоя, которые сами не принадлежат ни одному из предыдущих слоёв, и они выбираются другого цвета, чем гиперкубики предыдущего слоя.

Определите цвета единичных гиперкубиков, которым соответствуют векторы:

1. (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
2. (10, 5, -8, 5, 5, 9, -10, -9, -3, -11)
3. (8, 11, 4, -3, 0, -11, 11, -5, 8, 0)
4. (8, 9, -5, -8, 2, 3, 6, 9, -8, 9)
5. (-3, 4, 10, 7, -9, -4, 4, 9, 1, 0)
6. (-11, -8, -10, -9, 1, -7, 6, -2, 7, 2)
7. (-6, 0, 2, 6, 8, 6, -3, 9, -12, 8)
8. (9, 4, -9, -8, -4, 5, 8, -1, 11, -11)
9. (3, -4, 6, -4, 5, 9, -1, 3, 5, 3)
10. (-12, 8, -10, -7, 2, -11, 11, 4, 8, 8)
11. (3, 1, 6, 3, -7, 8, -4, 10, -4, -12)
12. (4, 0, 5, 6, -5, -12, 8, 12, 0, -7)

Введите ответ в виде последовательности нулей и единиц, где чёрному цвету соотвествует единица, а белому – ноль.

Все точки плоскости покрашены в ДВА цвета. Докажите, что на этой плоскости существует равносторонний треугольник, все вершины которого – одного цвета.

Дана квадратная решётка n×n точек. Расстояния между соседними точками равны 1.

Найдите площадь объединения n×n кругов радиуса 1 с центрами в точках решётки, если n=7.

Результат умножьте на 1000 и введите целую часть произведения.

Докажите, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный. Нельзя использовать тригонометрию, теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и формулу Герона.

Дан треугольник со сторонами 100, 70, 85. Кривая L это геометрическое место точек, из которых этот треугольник виден под углом π/6. На рисунке изображены зелёным цветом два её фрагмента.

Вычислите длину кривой L и введите в ответе её целую часть.

Красавица Осьминожка опять собирается на бал. Осталось только обуть восемь своих прекрасных ножек. Но из-за плохой погоды, кроме её 8-и пронумерованных туфелек и 8-и пронумерованных носочков, ещё нужно надеть 8 пронумерованных галош!

Сколько всего вариантов последовательности требуемых 24-х действий есть у Осьминожки?

Естественно, на каждую голую ножку можно только надевать носочек, а галошу можно надевать только на обутую ножку. Во всём остальном последовательнось действий совершенно произвольная.

1. В окружность с радиусом R=9000/π вписан треугогльник ABC с углами A=10°, B=20°, C=150°.

Кривая L является геометрическим местом точек, из которых треугольник ABC виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

2. В другую окружность с таким же радиусом R=9000/π вписан треугогльник DEF с углами D=10°, E=50°, F=120°.

Кривая M является геометрическим местом точек, из которых треугольник DEF виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

Ведите в ответе сумму двух найденных чисел.

В прямоугольнике ABCD стороны |AB|=40/π, |BC|=30/π. Кривая L является геометрическим местом точек, из которых прямоугольник виден под углом 30°. Найдите её длину.

Внешняя область правильного n-угольника разбивается на f(n) частей по такому принципу: две точки принадлежат одной и той же части, тогда и только тогда, когда они видят целиком одни и те же стороны n-угольника.

Например, точки A и B на рисунке видят целиком одни и те же две стороны:

Найдите f(100)+f(101).