По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 2025.

В каждой паре соседних чисел нашли сумму. Множество этих сумм упорядочили по возрастанию. Оказалось, что в этом множестве есть M подряд идущих натуральных чисел. Найдите наибольшее значение M.

Точки A и B лежат на разных ветвях гиперболы, заданной уравнением y = 1/x.  Пусть A_x и A_y – проекции точки A на координатные оси, а Bx и By – проекции точки B на координатные оси. Площадь треугольника AB_xB_y равна 111/20. Найдите площадь треугольника BA_xA_y.

В координатной плоскости расположено множество гипербол вида |xy| = k  и множество окружностей вида x² + y² = 2k. В обоих формулах натуральное число k пробегает все значения от 1 до 55. На сколько частей все эти линии делят координатную плоскость?

С помощью равносторонних треугольников нарисованы две «растущие» ёлочки.

Треугольники «вписаны» в угол так, что две вершины каждого треугольника лежат на сторонах угла, а третья вершина лежит на биссектрисе этого угла. Площади первого и второго треугольников снизу соответственно равны 121 и 81. На ёлочке слева каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 1, на ёлочке справа каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 4. Продолжая многократно такой процесс рисования, убеждаемся, что ёлочки растут.  Как высоко они вырастут? В ответе укажите отношение высоты меньшей ёлочки к высоте большей.

На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся N точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• звенья ломаной лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• ломаная проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.

На рисунке изображён пример такой ломаной при N=5. Легко видеть, что ломаная нарисована звеньями трех разных направлений: суммарная длина звеньев каждого направления равна 3, 5 и 7 соответственно.

При каких значениях N в пределах 2 ≤ N ≤ 32 можно построить ломаную, у которой суммарные длины звеньев каждого направления равны? В качестве ответа введите количество подходящих N.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было поровну, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Найдите наименьшее количество треугольников каждого цвета.