img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: admin предложил задачу "Зеркальные числа" (Математика):

Турнир: Турнир Эйлера II   

 
Дата проведения: 23.12.09
время с 00:00 до 23:59 (Москва)
статус: завершен
уровень сложности: 3

В турнире будут представлены задачи из списка "Проект "Эйлера".

За правильное решение каждой задачи начисляется определённое количество баллов.

Важно. Проверка задач будет осуществляться после окончания турнира.

Победителем и призерами становятся те участники, кто набрал наибольшее количество баллов. Участники, набравшие одинаковое количество баллов, делят соответствующие места. Количество участников занявших одинаковые места - неограничено.

Внимание! Участие в турнире бесплатное. В нем могут принимать участие все желающие школьники, студенты и взрослые. Победителям и призёрам отправляются призы по почте.

Участие в турнире повышает рейтинг участника.

Победителям и участникам будут вручены дипломы.

Призы

1 Место Изображение

Неожиданный подарок

2 Место Изображение

Неожиданный подарок

3 Место Изображение

Неожиданный подарок

Жюри

1. Шкред Анатолий

Результаты турнира (обновлены 26.01.10 13:55)

№. Ник Страна Регион Результат Место
1. Loks Российская Федерация Ярославская область 1400 (из 1400) 1-5
2. julikV Беларусь ---- 1400 (из 1400) 1-5
3. Dremov_Victor Российская Федерация Ростовская область 1400 (из 1400) 1-5
4. Anton_Lunyov Украина ---- 1400 (из 1400) 1-5
5. Alpha900i Российская Федерация Красноярский край 1400 (из 1400) 1-5
6. emm76 Молдова ---- 1100 (из 1400) 6
7. kirilloid Российская Федерация Москва 1000 (из 1400) 7-8
8. bbny США ---- 1000 (из 1400) 7-8
9. TALMON Израиль ---- 800 (из 1400) 9-11
10. MarS Российская Федерация Московская область 800 (из 1400) 9-11
все результаты >>

Задачи

ЗАДАЧА 1. Палиндромы из квадратов
  
22.12.09 18:01
вес: 1
сложность: 1
класс: 8-10
баллы: 300
  
попыток: 0
решили: 10

Палиндромами называют числа, десятичные знаки которых расположены симметрично. Палиндром 595 интересен тем, что его можно представить в виде суммы семи последовательных квадратов натуральных чисел: 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122.

Существует ровно 5 палиндромов, не превышающих 1000, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов. Их сумма равна 2609.

Найдите сумму всех палиндромов, не превышающих 108, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов.

ЗАДАЧА 2. Кубические слои
  
22.12.09 18:01
вес: 1
сложность: 2
класс: 11 и старше
баллы: 300
  
попыток: 0
решили: 12

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.



Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.

ЗАДАЧА 3. Нумерация шестиугольного замощения
  
22.12.09 18:01
вес: 1
сложность: 2
класс: 8-10
баллы: 400
  
попыток: 0
решили: 12

Замощение плоскости правильными шестиугольниками нумеруется начиная с 1 следующим образом: вначале один многоугольник выделяется и обозначается "1", затем против часовой стрелки начиная с направления вверх последовательно нумируется еще слой из 6 правильных многоугольников. И так далее каждый слой. Смотрите иллюстрацию, на ней пронумерованы первые три слоя.нумерация замощения

Для каждого числа n найдем модули разности между ним и его шестью соседями. Определим PD(n) количество простых модулей разности среди них.

Например, для числа 8 модули разности такие: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом PD(8) = 3.

А для числа 17 разности: 1, 17, 16, 1, 11 и 10, то есть PD(17) = 2.

Можно показать, что значения PD(n) не превосходит 3, для любых n.

Выпишите все n делящиеся на 5, начиная с меньших n, для которых PD(n) равно 3. В ответ запишите 1000-е такое n.

ЗАДАЧА 4. Тройки чисел
  
22.12.09 18:01
вес: 1
сложность: 3
класс: 11 и старше
баллы: 400
  
попыток: 0
решили: 12

Радикальное число для числа n, rad(n) это произведение всех различных простых множителей числа n. Например, 504 = 23*32*7, и rad(n) = 2*3*7 = 42.
Будем рассматривать тройки натуральных чисел (a, b, c) обладающие следующими свойствами:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1.
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Например, такой тройкой является (5, 27, 32):
НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
5 < 27
5 + 27 = 32
rad(4320) = 30 < 32

Для некоторых c имеется более одной такой тройки (a, b, c). До 10000 таких c всего 15.

Найдите сколько существует c меньших 100000, для которых существует более одной тройки (a, b, c), обладающих описанными выше свойствами.


Обсудить турнир (комментариев: 7 ) >> Правила >>

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.