Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился;

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С.Н. Боброва)

Сколько лет прожил Диофант?

Каково максимально возможное количество сфер, каждая из которых касается всех четырёх плоскостей, являющихся продолжениями граней некоторого тетраэдра? (Тетраэдр — это треугольная пирамида.)

Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. На сколько процентов скорость отца больше скорости сына?

В пространстве даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости.  Сколько существует различных параллелепипедов, для каждого из которых все данные точки являются вершинами? (Различные — как множества; например, равные параллелепипеды, но сдвинутые друг относительно друга, тоже считаются различными.)

Из А в Б и из Б в А одновременно выехали навстречу друг другу два грузовика. Ехали они по одной и той же дороге с постоянными скоростями и встретились в полдень, но не остановились, а каждый продолжал свой путь с той же скоростью. Первый грузовик прибыл в Б в 4 часа дня, а второй приехал в А в 9 часов вечера. Сколько часов ехали грузовики до того, как встретились?

Какая цифра стоит на 100-м месте после запятой в десятичной записи числа (44+√2009)²⁰⁰⁹?

Рассмотрим два различных тетраэдра, вписанные в куб так, что вершины каждого являются вершинами куба, а ребра — диагоналями граней.  Во сколько раз объем куба больше, чем пересечение этих тетраэдров?

В рамках новой программы исследования околоземного пространства её руководители хотят запусить три спутника, которые будут летать на одной и той же высоте, делая один оборот вокруг Земли за 15 часов. Спутники нужно вывести на их орбиты так, чтобы в течение нескольких часов пути спутников не пересекались, т.е. чтобы никакие два спутника не побывали за это время в одной и той же точке околоземного пространства. Какого наибольшего целого числа часов можно добиться, правильно выбрав орбиты спутников?

С математической точки зрения речь идёт о непересекающихся дугах больших окружностей сферы (большая окружность — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через её центр).

Например, если спутников только два, а не три, то ответ на вопрос задачи — 14. Для этого их надо запустить так, чтобы один пролетал над Северным полюсом в тот момент, когда другой пролетает над Южным. И через полчаса после их одновременного прохода полюсов у нас заведомо будет 14 часов.

На окружности отмечена точка, из которой по часовой стрелке циркулем делается засечка. Из полученной точки в том же направлении тем же радиусом делается вторая засечка, и так повторяется 2009 раз. После этого окружность разрезается во всех 2009 засечках, и получается 2009 дуг. Какое максимально возможное число дуг различной длины может при этом получиться?