В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).

Сколько существует таких 20-значных чисел, что в их десятичной записи сумма любых трех последовательных цифр не меньше шести, но не превышает одиннадцати?
(Числа не могут начинаться с нуля)

Для передачи сообщений используется алфавит из 32 прописных русских букв (не используется «Ъ»). Все передаваемые слова содержат ровно по 8 букв. Каждое передаваемое слово начинается с одной из четырех букв (К, Л, М, Н). Остальные буквы в каждом слове могут быть любыми из используемого алфавита. Какое количество информации (в битах) несет произвольная фраза из 10 слов, если для ее кодирования использовалось минимальное количество бит в рамках описанных выше правил.

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.

Обозначим через f(n) сумму кубов десятичных цифр натурального числа n, например:
f(5)=5³=125
f(27)= 2³+7³=351
f(31321)= 3³+1³+3³+2³+1³=64
Найдите последние девять цифр суммы всех n, не превышающих 10²⁰, для которых f(n) является кубом натурального числа.

Сколько существует 18-значных чисел, в десятичной записи которых
нет нулей,
не более одной единицы,
не более двух двоек,
не более трех троек,
не более четырех четверок,
не более пяти пятерок,
не более шести шестерок,
не более семи семерок,
не более восьми восьмерок,
и не более девяти девяток?

Игроку выдается 9 карт и он упорядочивает их по мастям в порядке Пики, Трефы, Бубны, Червы, а внутри масти по старшиству 2, 3,..., 10, В, Д, К, Т. Комбинация называется неубывающей, если младшая карта в следующей масти, не ниже старшей карт в предыдущей масти. Найдите количество неубывающих комбинаций из 9 карт.

Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)