На плоскости даны четыре точки с целочисленными координатами: A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b и 0 < c < d.

Точка P(x,y) с целочисленными координатами выбрана на отрезке AC так, что треугольники ABP, CDP и BDP оказываются подобными.

Легко показать, что при этом a=c=x+y. Поэтому, задав подходящим образом четверку чисел (x,y,b,d), мы однозначно определим размер и положение наших треугольников.

Например, четверки (x,y,b,d)=(1,1,3,4) и (x,y,b,d)=(1,1,4,3) обе удовлетворяют указанным условиям: каждая из них задает три подобных треугольника. Мы будем считать различными такие четверки, отвечающие взаимно симметричным конфигурациям.

При b+d<100 существует 110 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

При b+d<100 000 существует 395662 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

Сколько существует различных четверок, задающих три подобных треугольника при b+d<100 000 000?

В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми.

Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175).

А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h?

Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с  целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO.

Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным.

Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|²+|BC|²+|CD|²+|AD|² ≤ N..

Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. 

Найдите B(10 000 000 000).

Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. 

Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево.

Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора.

Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. 

Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м², а отношение площади к длине ограды  равно 125.

Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*250² м², длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125.

Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м², длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.

Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.

Найдите минимально возможную целочисленную длину стороны равностороннего треугольника, внутри которого существует точка, расстояния от которой до всех вершин треугольника также являются целыми числами.

В правильном целочисленном треугольнике АВС есть такая точка внутри, что целочисленные расстояния a, b, c до его вершин образуют арифметическую прогрессию и НОД(a,b,c) =1. Найти сторону двадцать первого по величине такого треугольника.