У вас есть кубики размера 1x1x1, из них - 6 прозрачные и 90 кубиков имеют в центре красную бусинку. Сколько существует способов размещения кубиков внутри параллелепипеда размером 4x4x6 таких, что во всех рядах по всем трем направлениям находится четное количество бусинок (ноль - также четное число)?

Паук S сидит в углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда и размеры 6×5×3. Муха F сидит в противоположном углу. Чтобы добраться до мухи, паук может ползти по стенам, полу или потолку комнаты. При этом он выбирает кратчайший возможный путь. В данном случае длина кратчайшего пути оказалась равной 10:

Однако, не для всякой комнаты длина кратчайшего пути  будет выражаться целым числом.

Рассмотрим все комнаты, у которых длина, ширина и высота - целые числа, не превышающие M. Оказывается что для M=100 найдется ровно 2060 различных комнат, для которых длина кратчайшего пути  будет целой, и это минимальное число, при котором количество решений превышает 2000, поскольку при M=99 будет только 1975 решений.

Найти наименьшее число M, при котором число решений будет больше 100 000 000.

Точки P(x₁, y₁) и Q(x₂, y₂) с целочисленными координатами вместе с точкой начала координат O(0, 0) образуют треугольник OPQ.

Для 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2 всего 12 треугольников с углом 45 градусов. Вот координаты соответствующих им точек P и Q:

(0, 1) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
(0, 1) (2, 2)
(0, 2) (1, 1)
(0, 2) (2, 0)
(0, 2) (2, 2)
(1, 0) (1, 1)
(1, 0) (2, 2)
(1, 1) (2, 0)
(1, 2) (2, 2)
(2, 0) (2, 2)
(2, 1) (2, 2)

Треугольники где изменен только порядок точек P и Q, считаются одинаковыми.

Сколько различных треугольников с углом 45 градусов, если координаты точек находятся в пределах: 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 100?

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

На плоскости нарисована пятиконечная звезда  с центром в начале координат и одной вершиной в точке с координатами (100,0). Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри звезды?

В пространстве размещен куб с вершинами в точках (0,0,0), (0,0,1000), (0,1000,0) и (1000,0,0). В куб вписаны 8 шаров диаметром 500.  Сколько точек с целочисленными координатами лежат внутри куба, но не попадают внутрь шаров?

На координатной сетке на плоскости отмечены точки P_ij, где i и j - простые числа и 1≤i,j≤1000. Точки P_ij рассматриваются как вершины треугольников. Сколько треугольников являются равнобедренными?

Какое минимальное количество спичек необходимо для того, чтобы выложить на плоскости 1111111 квадратов со стороной в одну спичку? Спички нельзя ломать и класть друг на друга. Вершинами квадратов должны быть точки, где сходятся концы спичек, а сторонами - сами спички.

Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).