Как известно, любое простое число p вида 4k+1 представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, причем единственным способом. Найдите такое представление для числа p=990702638520320711872233636311814629, то есть найдите такие натуральные числа x<y, что x²+y²=p. В ответе укажите x.

Число X = (32³² + 4⁴ -1) * 16¹⁶ + 8⁸ -1 перевели из десятичной в двоичную систему счисления. Сколько единиц получилось в двоичной записи числа?

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.

Пусть d(n) обозначает число всех натуральных делителей натурального числа n. Найдите максимальное значение величины d(n)⁵/n, кодга n пробегает числа от 1 до 10¹⁰⁰. Ответ округлите до ближайшего целого.

Индийский математик Д. Р. Капрекар известен своими работами по теории чисел. Одна из его работ посвящена так называемому преобразованию Капрекара. Рассмотрим следующую операцию. Пусть задано число x. Пусть M - наибольшее число, которое можно получить из x перестановкой его цифр, а m - наименьшее число (это число может содержать ведущие нули). Обозначим как K(x) разность M - m, дополненную при необходимости ведущими нулями так, чтобы число цифр в ней было равно числу цифр в x.
Например, K(100) = 100 - 001 = 099, K(2414) = 4421 - 1244 = 3177.
Капрекар доказал, что если начать с некоторого четырехзначного числа x, в котором не все цифры равны между собой, и последовательно применять к нему эту операцию (вычислять K(x), K(K(x)), . . . ), то рано или поздно получится число 6174. Для него верно равенство
K(6174) = 7641 - 1467 = 6174, поэтому на нем процесс зациклится.
Найдите минимальное число, меньшее миллиона, такое что в результате некоторой последовательности операций K(x), K(K(x)),... получается максимальное число.

Сколько чисел начинается с цифры 1 среди чисел 2ⁿ, где n=0, 1,...,10⁹?

Есть N² ферзей N разных определённых цветов, по N ферзей каждого цвета. Обозначим как X(N) количество способов расставить все эти ферзи на шахматной доске размера N на N так, чтобы ферзи одного цвета не находились под ударом друг друга. Чему равна сумма X(3) + X(4) + X(5) + X(6) + X(7) + X(8) + X(9) + X(10)? (Координаты клеток доски, а также цвета ферзей, однозначно определены, поэтому разные позиции, подучающиеся одна от другой поворотом, симметрическим отображением или сменой цветов, считаются разными).

Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.