С целью ухода от налогов первый из 5 друзей торговцев одолжил остальным столько денег, сколько было у каждого. Затем также поступил второй, потом третий, потом четвёртый, и наконец пятый. После всех пяти процедур капитал каждого не изменился. Каков капитал первого торговца, если капитал последнего составляет 100 экю?

Известно, что сумма S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n бывает сколь угодно большой. Рассмотрим наименьшее m для которого S_m > 1000000. Требуется найти количество цифр в десятичной записи числа m.

Нам с тобой вместе 35 лет. Мне в два раза больше, чем тебе тогда, когда мне было столько же, сколько тебе сейчас. Сколько нам лет? (В ответе укажите произведение найденных возрастов.)

В колонию из 2009 бактерий попадает вирус. Через секунду он уничтожает одну бактерию. Ещё через секунду все бактерии и все вирусы делятся надвое. Далее каждый вирус через секунду после своего рождения уничтожает одну бактерию, а ещё через секунду после этого все бактерии и все вирусы делятся надвое. Через сколько секунд после попадания вируса все бактерии будут уничтожены?

Какое минимальное число различных решений, лежащих на отрезке [−π,π], может иметь тригонометрическое уравнение a cos(9x) + b sin(16x) + c cos(25x) + d sin(36x) = 0? (Решения данного уравнения зависят от значений его коэффициентов a, b, c и d.)

Сколько клеток составляет площадь выпуклого 16-угольника минимального периметра, вершины которого находятся в узлах клетчатой бумаги?

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Лиса может бегать по всей арене, а заяц лишь по её краю. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса — это точка на круге, а заяц — на его окружности; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

Автомобилист проехал первую половину своего пути со средней скоростью 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью 90 км/ч. Сколько км/ч составляла его средняя скорость на всём пути?

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Но на этот раз и лиса, и заяц могут бегать по всей арене (ср. с задачей 102). Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса и заяц — точки на круге; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.