При игре в дартс участники метают три коротких дротика в мишень, разделенную на двадцать равных секторов, которые пронумерованы числами от 1 до 20.

Количество заработанных очков зависит от того, куда дротик воткнулся. Попадание дротика за пределами внешнего красно-зеленого кольца  не приносит очков. Попадание дротика в черный или желтый сектор внутри этого кольца приносит очки в соответствии с номером сектора. Внешнее красно-зеленое кольцо означает удвоение числа сектора, а внутреннее  - утроение. Два концентрических круга в центре мишени образуют "яблочко". Наружный зеленый круг дает 25 очков, а внутренний красный - 50. Он считается двойным (25x2=50).

Существует несколько вариантов игры. В самом распространенном из них игроки в начале игры имеют 301 или 501 очко, а затем последовательно вычитают заработанные очки. Выигрывает тот, у кого останется ровно ноль очков. Однако победа засчитывается только в том случае, если последний бросок, сводящий число очков к нулю, был "двойным", то есть попал во внешнее красно-зеленое кольцо или в красное "яблочко". В противном случае, а также когда после серии из трех бросков получается отрицательная сумма очков или единица, вся серия не засчитывается, и счет остается прежним.

Положение, при котором участник может завершить игру, называют "чекаут" (англ. checkout). Максимальный чекаут возможен при 170 очках: T20 T20 D25 (два попадания с утроением в сектор 20 и одно попадание в красное яблочко).

Есть ровно 11 способов окончить игру при шести очках:

D3   
D1  D2   
S2  D2   
D2  D1   
S4  D1   
S1  S1  D2
S1  T1  D1
S1  S3  D1
D1  D1  D1
D1  S2  D1
S2  S2  D1

Обратите внимание, что серии D1 D2 и D2 D1 считаются различными, поскольку последние броски с удвоением у них различны. Однако комбинации S1 T1 D1 и T1 S1 D1 считаются  одинаковыми. Кроме того, мы не учитываем промахи. D3 считается тем же исходом, что и 0 D3 или 0 0 D3.
Всего существует 42336 различных способов завершить игру. При оставшихся 6 очках можно завершить игру 11 способами, при 8 - 22 способами.
А при каком количестве очков можно завершить игру наибольшим числом способов?

Изучим целые положительные решения уравнения
1/x + 1/y =1/n

при различных натуральных n.
Для  n = 4 уравнение будет иметь ровно три различных решения:
1/5 + 1/20 = 1/4
1/6 + 1/12 = 1/4
1/8 + 1/8 = 1/4

Для какого n, не превышающего 15·10¹⁵, уравнение будет иметь больше всего решений?
Замечание: Эта задача - существенно усложненная версия задачи 197. Решить ее "в лоб" вряд ли удастся.

Рассмотрим четырехзначные простые числа с повторяющимися цифрами. Ясно, что все цифры не могут быть одинаковы: 1111 делится на 11, 2222 делится на 22, и т.д. Но есть девять четырехзначных простых чисел, содержащих три единицы:
1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111
Обозначим через M(n, d) максимально возможное количество повторяющихся цифр в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра. Пусть N(n, d) - количество таких чисел, а S(n, d) - их сумма.
Тогда M(4, 1) = 3 - максимальное количество единиц в четырехзначном простом числе, всего существует N(4, 1) = 9 таких чисел, а их сумма равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что при d = 0 в четырехзначном простом числе может быть не более M(4, 0) = 2 нулей, и N(4, 0) = 13.
Таким образом, мы получим следующие результаты для четырехзначных простых чисел:

Найдите сумму всех S(n, d) для 3 ≤ n ≤ 10 и 0 ≤ d ≤ 9.

Будем называть возрастающим натуральное число, десятичные цифры которого не убывают слева направо, например 134468.
Аналогично, убывающим числом будем называть такое натуральное число, цифры которого не возрастают слева направо, например 864431.
Оказывается, что возрастающие числа встречаются реже, чем убывающие. Так, среди первых ста натуральных чисел имеется 54 возрастающих и 64 убывающих (18 чисел, состоящих из одинаковых цифр, являются сразу же и возрастающими, и убывающими), а в первой тысяче натуральных чисел - 219 возрастающих и 283 убывающих.
Обозначим через R(n) отношение количества убывающих чисел к количеству возрастающих среди первых n натуральных чисел. Например, оказывается, что R(11)=11/10, R(1127)=11/9.
Найти R(n), где n – число, состоящее из 111 единиц (Оказывается, это целое число).

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

Замечание: Это более сложный вариант задачи 114.

Как и в задаче 114, будем рассматривать прямоугольные полоски, состоящие из n выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее m_r клеток, а черные – не менее m_b.

Обозначим через F(m_r, m_b,n) число способов, которым такая полоска может быть построена, например F(3, 2, 8)=14 (см. рисунок).

Кроме того, F(3, 2, 34)= 856506 и F(3, 2, 35)= 1309554.

Это означает, что n=35 – минимальное значение, при котором функция F(3, 2,n) превосходит миллион.

Аналогично, F(5, 3, 46) = 849735 и F(5, 3, 47)= 1172897, и 47 – первое значение n, при котором F(5, 3, n) больше миллиона.

Найдите минимальное значение n, при котором F(111, 100, n) > 1 000 000.

Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.