Из каждого узла решетки за один шаг можно попасть только в следующий узел справа или ниже.
Например, для решетки на рисунке размера 4 на 4, указан один из
правильных путей:

Сколько имеется различных путей от верхнего левого угла решетки до правого нижнего угла квадратной решетки размера 40 на 40?

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1

Какое минимальное количество ходов конем необходимо сделать для того, чтобы пройти через все поля шахматной доски? (Начинать можно с любого поля). 

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что ровно 2 ферзя бьют друг друга?

Матрица размером 100 на 100 элементов заполняется таким образом: в позиции с координатами (i,j) размещается цифра, находящаяся на i*j месте после запятой в записи числа π, если эта цифра четная, то она записывается с положительным знаком, если нет - с отрицательным.

Рассмотрим "внутренние" матрицы 10 на 10, состоящие из элементов:

a_m,n, a_m+1,n,...,a_m+9,n,
a_m,n+1, a_m+1,n+1,...,a_m+9,n+1,
...
a_m,n+9, a_m+1,n+9,...,a_m+9,n+9.

Суммой матрицы назовем сумму ее элементов. Найдите максимальное значение суммы среди всех "внутренних" матриц.

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.

Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2^N×2^N  однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:

• Первый бит относится ко всему квадрату 2^N ×2^N
• "0" означает ветвление дерева, и текущий квадрат 2ⁿ×2ⁿ разделяется на четыре меньших квадрата размером 2^n-1×2^n-1. Следующие за нулем биты содержат описание этих четырех квадратов, сначала левого верхнего, затем правого верхнего, левого нижнего и правого нижнего (именно в этой последовательности).
• "10" означает, что данный квадрат содержит только черные пиксели;
• "11" означает, что данный квадрат содержит только белые пиксели.

В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.

В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной.

Рассмотрим теперь изображения размером 2^N×2^N, построенные следующим образом:

• Пиксель с координатами x=0, y=0 соответствует левому нижнему углу изображения,
• Если  (x-2^N-1)²+(y-2^N-1)² ≤ 2^2N-2 , то соответствующий пиксель черного цвета,
• Остальные пиксели - белые.

Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?

Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:

1. Ты назвал число меньше задуманного.
2. Ты угадал!
3. Ты назвал число больше задуманного.

Требуется определить  задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа.

Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2.

Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17.

Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно  вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12.

Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. 

Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12.

Можно подсчитать, что  C(100) = 400.

Найдите С(500000).