Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка тупоугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² - 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка тупоугольных треугольников, стороны которых не превышают 30 000 000.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?

Рассмотрим окружность, заданную тремя точками (0,0), (N,0) и (N,N).
Обозначим через f(N) количество точек с целочисленными координатами, лежащих на этой окружности.
Можно показать, что f(10000)=36.

Найдите сумму  таких натуральных N≤10¹¹, для которых f(N) = 588.

Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

Для заданного множества точек на плоскости М определим выпуклую дыру H как многоугольник, все вершины которого принадлежат множеству М, и ни одна точка из М не содержится во внутренней области H (на сторонах многоугольника точки лежать могут).
В качестве примера на рисунке ниже показано множество М из 20 точек и несколько из заданных им выпуклых дыр.

Красным цветом показана выпуклая дыра наибольшей площади: ее площадь составляет 1049694,5 единиц, и для данного множества М нет выпуклых дыр с большей площадью.

Для нашего примера мы использовали первые 20 точек, полученные с помощью генератора случайных чисел следующим образом. Точка с номером k имеет координаты (T_2k-1, T_2k), а псевдослучайные числа T_k получены при помощи рекуррентной формулы:

S_n+1 = S_n² mod 50515093,
где S₀ = 290797
и
T_n =(S_n mod 2000) - 1000.

Тогда координаты первых трех точек будут:
(527,144), (-488,732), (-454,-947).
Постройте с помощью указанного генератора псевдослучайных чисел множество М из первых 500 точек  и найдите для него выпуклую дыру наибольшей площади. Ответом задачи является периметр указанной дыры, округленный до целого.

Как известно, японцы застилают полы прямоугольными матами-татами, укладывая их без зазоров и перекрытий согласно строгим традиционным правилам. Хотя в разных частях Японии размер татами различается, везде его стороны соотносятся как 2:1. Поэтому стороны японской комнаты соотносятся как целые числа  a и b, а ее площадь можно выразить как s = a × b.
Кроме того, покрытие должно быть таким, чтобы в одной точке не сходилось более трех матов. Взгляните, например, на два покрытия квадратов 4×4:

 
Покрытие слева соответствует всем правилам, а покрытие справа недопустимо, поскольку в точке, отмеченной красным крестиком, сходятся четыре мата.
Ясно, что если площадь комнаты нечетная, ее нельзя застелить. Некоторые комнаты, даже имеющие целые стороны и четную площадь, все-таки нельзя правильным образом застелить татами. Будем называть такие комнаты недопустимыми. Обозначим через T(s) количество недопустимых комнат площади s.
Например, самая маленькая недопустимая комната имеет стороны 7 и 10. Ее площадь равна 70.  Остальные три комнаты площадью 70 (1×70, 2×35, 5×14) могут быть правильно застелены татами. Поэтому T(70)=1.
Аналогично, можно проверить, что T(1320) = 5, поскольку существует ровно пять недопустимых комнат площадью s = 1320:
20×66, 22×60, 24×55, 30×44 и 33×40.
Найдите сумму таких s, не превышающих 100 000 000, для которых T(s) ≥ 200.

Дан треугольник ABC, длины сторон которого выражаются различными целыми числами: |CB|<|AC|<|AB|.
Биссектрисы треугольника пересекают его стороны в точках E, F и G, как показано на рисунке:

Отрезки EF, EG и FG разбивают треугольник ABC на четыре треугольника меньшего размера: AEG, BFE, CGF и EFG.
Можно показать, что отношения площадей этих треугольников всегда выражаются рациональными числами, но иногда это отношение оказывается целым.
Найдите, сколько существует различных треугольников ABC, для которых отношение площадей треугольника ABC и треугольника AEG выражается целым числом, а |CB|<|AC|<|AB|≤50 000 000.

В этой задаче мы будем рассматривать треугольники на плоскости со следующими свойствами:

• Координаты их вершин – целые числа;
• Центр описанной окружности совпадает с началом координат;
• Ортоцентр (точка пересечения высот) имеет координаты (5, 0).

Существует девять таких треугольников с периметром, не превышающим 50. Все они показаны на рисунке

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) 
Сумма их площадей равна 445.
Найдите все треугольники, обладающие указанными свойствами, периметр которых не превышает 10⁵.
Легко показать, что сумма их площадей является целым числом. Она и будет ответом к этой задаче.