Из каждого узла решетки за один шаг можно попасть только в следующий узел справа или ниже.
Например, для решетки на рисунке размера 4 на 4, указан один из
правильных путей:

Сколько имеется различных путей от верхнего левого угла решетки до правого нижнего угла квадратной решетки размера 40 на 40?

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1

Какое минимальное количество ходов конем необходимо сделать для того, чтобы пройти через все поля шахматной доски? (Начинать можно с любого поля). 

Стороны правильного треугольника ABC представляют собой зеркала, обращенные отражающей поверхностью вовнутрь. В вершинах треугольника расположены бесконечно малые щели, через которые может пройти лазерный луч.
На рисунке показан путь луча, который прошел сквозь щель в вершине C, 11 раз отразился от зеркал и вышел из треугольника через ту же вершину C. Существует всего 2 пути, по которым луч может войти и выйти через вершину C, испытав при этом 11 отражений: один – это тот, что изображен на рисунке, а другой – направленный ему навстречу.

Очевидно, что есть только одна траектория, по которой луч входит и выходит через вершину C, отразившись лишь однажды.
Существует 40 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал 697 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Существует 9355 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 700 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Сколько существует траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 100000 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.

Рассмотрим движение робота. Его траектория представляет собой гладкую кривую, составленную из 72-градусных дуг определенного радиуса. На каждом шаге робот может двигаться по часовой стрелке или против, но не может поворачиваться на месте.

На рисунке показан замкнутый путь робота, состоящий из 25 дуг и начинающийся в направлении "на север", которое обозначено стрелкой. Всего замкнутых траекторий такой длины, начинающихся в северном направлении можно насчитать 70932.

Сколько существует замкнутых траекторий, состоящих не более чем из 70 дуг, и начинающихся в северном направлении. (По одной дуге робот может проходить несколько раз).

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.

Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2^N×2^N  однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:

• Первый бит относится ко всему квадрату 2^N ×2^N
• "0" означает ветвление дерева, и текущий квадрат 2ⁿ×2ⁿ разделяется на четыре меньших квадрата размером 2^n-1×2^n-1. Следующие за нулем биты содержат описание этих четырех квадратов, сначала левого верхнего, затем правого верхнего, левого нижнего и правого нижнего (именно в этой последовательности).
• "10" означает, что данный квадрат содержит только черные пиксели;
• "11" означает, что данный квадрат содержит только белые пиксели.

В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.

В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной.

Рассмотрим теперь изображения размером 2^N×2^N, построенные следующим образом:

• Пиксель с координатами x=0, y=0 соответствует левому нижнему углу изображения,
• Если  (x-2^N-1)²+(y-2^N-1)² ≤ 2^2N-2 , то соответствующий пиксель черного цвета,
• Остальные пиксели - белые.

Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?

Обозначим через C(x,y) окружность, проходящую через точки (x, y), (x,y+1), (x+1,y) и (x+1,y+1).

Обозначим через E(m,n) объединение m×n окружностей C(x,y), где 0≤x<m, 0≤y<n, а x, y, m и n – целые числа.

Эйлеровым циклом на E(m,n) называется замкнутый путь, включающий каждую дугу каждой окружности ровно один раз. В этой задаче мы будем рассматривать только те эйлеровы циклы, которые не имеют самопересечений. При этом участки цикла могут касаться друг друга в точках с целыми координатами, но не должны пересекаться.

На рисунке показан пример эйлерова цикла без самопересечений на E(3,3).

Обозначим через L(m,n) количество эйлеровых циклов без самопересечений на E(m,n).

Например, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290.

Найдите остаток от деления  L(6,13) на 6¹³.

Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:

1. Ты назвал число меньше задуманного.
2. Ты угадал!
3. Ты назвал число больше задуманного.

Требуется определить  задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа.

Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2.

Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17.

Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно  вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12.

Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. 

Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12.

Можно подсчитать, что  C(100) = 400.

Найдите С(500000).

Степени двойки, как известно, редко начинаются с цифры 9 (см. задачу 316). Так, первый раз это случается только для 53-й степени (2⁵³ = 9007199254740992). С двух девяток подряд начинается 93-я степень, а с трех девяток - только 2621-я.

Найдите минимальный показатель степени n такой, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается с десяти девяток подряд.