Суперферзь отличается от обычного тем, что он может ходить и как конь. Сколькими способами можно расствить 14 суперферзей на шахматной доске размера 14 на 14 таким образом, чтобы ни один суперферзь не находился под ударом другого суперферзя? Позиции, получающиеся друг от друга поворотом или зеркальным отображением, считаются разными.

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что никакие 2 ферзя не бьют друг друга?

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что ровно 2 ферзя бьют друг друга?

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. В каждой вершине входящая в нее диагональ образует два угла со сторонами четырехугольника.
 

Например, в вершине A это будут углы BAC и CAD. Измерим величину этих восьми углов в градусах. Для некоторых четырехугольников полученные восемь чисел окажутся целыми. Будем называть такие четырехугольники невыпуклыми целыми четырехугольниками. Пример невыпуклого целого четырехугольника легко получить, если расположить точки A, B и C в вершинах правильного треугольника, а точку D в его центре. Другой пример получим, задав CAB=85°, BAD=55°, ABD=15°, CBD=50°, ACB=30°, BCD=25°, ADB=110°, BDC=105°.
Подсчитайте, сколько всего существует различных невыпуклых целых четырехугольников, если подобные четырехугольники считаются одинаковыми.

Четыре предмета, один из которых белый (Б), а три остальных – черные (Ч), можно сгруппировать семью способами:

(ЧЧЧБ) (Ч,ЧЧБ) (Ч,Ч,ЧБ) (Ч,Ч,Ч,Б) (Ч,ЧЧ,Б) (ЧЧЧ,Б) (ЧЧ,ЧБ)

Обозначим через f(b,w) количество способов, которыми можно сгруппировать множество из b черных и w белых предметов. Так, f(3,1)=7.

Найдите ∑f(60,p), где сумма берется для всех простых p, не превышающих 50.

Пусть I_r – множество точек с целыми координатами x и y, лежащих внутри круга радиуса r, т.е. x² + y² < r².

При r=2 I₂ содержит 9 точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1).

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются точки, принадлежащие I₂. Среди них найдется ровно 8 треугольников, содержащих начало координат в своей внутренней области. Два из них показаны на рисунке, а остальные можно получить поворотами.

При r=3 существует ровно 360 треугольников с вершинами, принадлежащими I₃, содержащих начало координат в своей внутренней области, а для r=5 таких треугольников будет 10600.

Сколько найдется треугольников, все вершины которых принадлежат I₅₀₀, а начало координат лежит в их внутренней области?

Матрица размером 100 на 100 элементов заполняется таким образом: в позиции с координатами (i,j) размещается цифра, находящаяся на i*j месте после запятой в записи числа π, если эта цифра четная, то она записывается с положительным знаком, если нет - с отрицательным.

Рассмотрим "внутренние" матрицы 10 на 10, состоящие из элементов:

a_m,n, a_m+1,n,...,a_m+9,n,
a_m,n+1, a_m+1,n+1,...,a_m+9,n+1,
...
a_m,n+9, a_m+1,n+9,...,a_m+9,n+9.

Суммой матрицы назовем сумму ее элементов. Найдите максимальное значение суммы среди всех "внутренних" матриц.

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.