Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

На плоскости нарисована пятиконечная звезда  с центром в начале координат и одной вершиной в точке с координатами (100,0). Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри звезды?

Какое минимальное количество спичек необходимо для того, чтобы выложить на плоскости 1111111 квадратов со стороной в одну спичку? Спички нельзя ломать и класть друг на друга. Вершинами квадратов должны быть точки, где сходятся концы спичек, а сторонами - сами спички.

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

Будем называть треугольник шестидесятиградусным, если он имеет хотя бы один угол, равный 60 градусам, а длины его сторон выражаются целыми числами.
Обозначим через r радиус вписанной в такой треугольник окружности.
Существует 1580 различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ 100.
Обозначим через T(n) количество различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ n.
Тогда T(100) = 1580, T(1000) = 26231 и T(10000) = 394553.
Найдите T(2000000).

Треугольники с целыми длинами строн называются почти прямоугольными, если a²+b²=c²±1 (a≤b≤c). Сколько существут различных почти прямоугольных треугольников с периметром меньшем 10¹⁵.  

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка тупоугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² - 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка тупоугольных треугольников, стороны которых не превышают 30 000 000.

Рассмотрим окружность, заданную тремя точками (0,0), (N,0) и (N,N).
Обозначим через f(N) количество точек с целочисленными координатами, лежащих на этой окружности.
Можно показать, что f(10000)=36.

Найдите сумму  таких натуральных N≤10¹¹, для которых f(N) = 588.