Пусть  a, b, c – натуральные числа, а функция F(n) определена следующим образом:
F(n) = n - c при n > b
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) при n ≤ b. 
Пусть также 

Тогда, например, при a = 50, b = 2000 и c = 40, получим F(0) = 3240, F(2000) = 2040,
а Z(50, 2000, 40) = 5044935.
Найдите остаток от деления Z(21⁷, 7²¹, 12⁷) на 987654321.

Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел a_i = x_i/y_i следующим образом:
a₁ = 1/k
a_i = (x_i-1+1)/(y_i-1-1) при i>1.
При этом все дроби x_i/y_i будем приводить к несократимому виду.
Мы будем продолжать последовательность до тех пор, пока нам не встретится целое число n.
Определим функцию  f(k)  как f(k) = n.
Например, при k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Поэтому f(20) = 6.

Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k³) = 18764 для простых k, не превышающих 100.

Найдите Σf(k³) для простых k, не превышающих 5×10⁶.

Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты.
Одна из этих монет — серебряный доллар — ценная, а остальные — медные — ценности не представляют. Игроки могут совершать ходы двух типов:
1. Сдвинуть любую монету влево на одну или несколько клеток. При этом поставить монету можно только на свободную клетку, и перескакивать через занятые клетки нельзя.
2. Забрать с доски монету, ближайшую к левому краю.
Если ходов первого типа нет, игрок обязан забрать самую левую монету.
Выигрывает тот, кто заберет серебряный доллар.

Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Пусть L(n,c) – количество проигрышных позиций для поля из n клеток, на которое расставляют c медных монет и один серебряный доллар.
Можно проверить, что L(10,3)=150 и L(103,13)= 32792060838490304.
Найдите остаток от деления L(1000003,103) на 1000003.

Пусть a(n) – наибольший корень многочлена P(x) = x³ - 3ⁿx² + n, например a(2)=8,97517184...
Пусть t(n,p)=[a(n)^p], где скобки […] означают округление вниз до целого.

Найдите восемь младших десятичных знаков суммы ∑t(i,333333333) для i=1,2,3,...30.

Возьмем натуральное число n и рассмотрим последовательность s(n)={1+n/1, 2+n/2, 3+n/3, …k+n/k,…}. Если эта последовательность не содержит целых составных чисел, будем говорить, что число n не порождает составных.
Легко проверить, что последовательность s(30)={31, 17, 13, 11.5, 11, 11, …} содержит только простые и нецелые числа. Поэтому число 30 не порождает составных.
Найдите количество восьмизначных чисел, которые не порождают составных.

В фигуре на верхнем чертеже содержатся k₃ треугольников, k₄ четырёхугольников, k₅ пятиугольников, k₆ шестиугольников и так далее.

В фигуре на нижнем чертеже показан один из 10-угольников.

Найдите сколько всего многоугольников  k_n для n=3, 4, 5,... содержится в верхней фигуре. В ответ вводите все ненулевые числа k_n подряд без пробелов слева направо: k₃k₄k₅... и так далее.

Для каждого натурального n определим функцию f(n) как количество хорд параболы y=x², концы которых имеют целочисленные координаты, и квадрат длины которых равен n.

Например, f(4)=1, f(2)=2, f(3)=0 и f(50)=4. На рисунке

изображены 4 хорды с целочисленными координатами концов и квадратом длины равным 50.

Найдите наименьшее число n, для которого f(n)=8.