Будем называть возрастающим натуральное число, десятичные цифры которого не убывают слева направо, например 134468.
Аналогично, убывающим числом будем называть такое натуральное число, цифры которого не возрастают слева направо, например 864431.
Оказывается, что возрастающие числа встречаются реже, чем убывающие. Так, среди первых ста натуральных чисел имеется 54 возрастающих и 64 убывающих (18 чисел, состоящих из одинаковых цифр, являются сразу же и возрастающими, и убывающими), а в первой тысяче натуральных чисел - 219 возрастающих и 283 убывающих.
Обозначим через R(n) отношение количества убывающих чисел к количеству возрастающих среди первых n натуральных чисел. Например, оказывается, что R(11)=11/10, R(1127)=11/9.
Найти R(n), где n – число, состоящее из 111 единиц (Оказывается, это целое число).

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

Замечание: Это более сложный вариант задачи 114.

Как и в задаче 114, будем рассматривать прямоугольные полоски, состоящие из n выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее m_r клеток, а черные – не менее m_b.

Обозначим через F(m_r, m_b,n) число способов, которым такая полоска может быть построена, например F(3, 2, 8)=14 (см. рисунок).

Кроме того, F(3, 2, 34)= 856506 и F(3, 2, 35)= 1309554.

Это означает, что n=35 – минимальное значение, при котором функция F(3, 2,n) превосходит миллион.

Аналогично, F(5, 3, 46) = 849735 и F(5, 3, 47)= 1172897, и 47 – первое значение n, при котором F(5, 3, n) больше миллиона.

Найдите минимальное значение n, при котором F(111, 100, n) > 1 000 000.

В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет.

Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:

Для зеленых прямоугольников есть три варианта:

Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:

А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант:

Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами.

Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).

Заполним полоску из пяти клеток, используя черные квадраты и цветные прямоугольники: красные прямоугольники из двух клеток, зеленые прямоугольники из трех клеток, синие – из четырех и желтые из пяти клеток. Как видно из рисунка, это можно сделать шестнадцатью способами.

Сколько есть способов заполнения полоски из 50 клеток?

Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.

Сколько различных множеств можно сформировать, используя ровно один раз каждую цифру от 0 до 8, так, чтобы все элементы множества были простыми?
Замечание: натуральные числа не могут начинаться с нуля.

Найдите сумму первых 100 цифр после запятой числа sin(sin(sin...(sin 1)...)) (sin повторяется 10 раз).

На шахматную доску ставится один ферзь и кони. Какое максимальное количество коней можно поставить на доску, чтобы ни одна фигура не оказалась под боем?

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.

Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.