Будем называть возрастающим натуральное число, десятичные цифры которого не убывают слева направо, например 134468.
Аналогично, убывающим числом будем называть такое натуральное число, цифры которого не возрастают слева направо, например 864431.
Оказывается, что возрастающие числа встречаются реже, чем убывающие. Так, среди первых ста натуральных чисел имеется 54 возрастающих и 64 убывающих (18 чисел, состоящих из одинаковых цифр, являются сразу же и возрастающими, и убывающими), а в первой тысяче натуральных чисел - 219 возрастающих и 283 убывающих.
Обозначим через R(n) отношение количества убывающих чисел к количеству возрастающих среди первых n натуральных чисел. Например, оказывается, что R(11)=11/10, R(1127)=11/9.
Найти R(n), где n – число, состоящее из 111 единиц (Оказывается, это целое число).

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

Замечание: Это более сложный вариант задачи 114.

Как и в задаче 114, будем рассматривать прямоугольные полоски, состоящие из n выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее m_r клеток, а черные – не менее m_b.

Обозначим через F(m_r, m_b,n) число способов, которым такая полоска может быть построена, например F(3, 2, 8)=14 (см. рисунок).

Кроме того, F(3, 2, 34)= 856506 и F(3, 2, 35)= 1309554.

Это означает, что n=35 – минимальное значение, при котором функция F(3, 2,n) превосходит миллион.

Аналогично, F(5, 3, 46) = 849735 и F(5, 3, 47)= 1172897, и 47 – первое значение n, при котором F(5, 3, n) больше миллиона.

Найдите минимальное значение n, при котором F(111, 100, n) > 1 000 000.

Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Найдите сумму первых 100 цифр после запятой числа sin(sin(sin...(sin 1)...)) (sin повторяется 10 раз).

Рассмотрим степенной ряд AG(x)=x * G₁+x² * G₂ + x³ * G₃ + ... , где через G_k обозначен k-ый член последовательности 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... , задаваемой рекуррентным соотношением
G_k = G_{k - 1} + G_{k - 2}, G₁ = 1 и G₂ = 4.

Мы интересуемся такими x, для которых AG(x) является натуральным. 

Ниже для первых пяти натуральных чисел приведены соответствующие значения x.

x              AG(x)
(sqrt(5) - 1)/4    1
2/5    2
(sqrt(22) - 2)/6    3
(sqrt(137) — 5)/14    4
1/2    5

Мы будем называть число AG(x) золотым самородком, если x рациональное, так как с ростом AG(x) они встречаются все более и более редко. Так, например, двадцатый золотой самородок равен 211345365.

Найдите 40-й золотой самородок.

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

Поделим с остатком натуральное число n на d. Пусть неполное частное равно q, а остаток r. Иногда числа d, q и r, записанные в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию.

Для примера поделим с остатком 58 на 6. Получим неполное частное 9 и остаток 4. Видим, что 4, 6, 9 образуют геометрическую прогрессию (со знаменателем 3/2).
Мы будем называть такие числа n прогрессивными.

Некоторые прогрессивные числа, такие как 9 или 10404 = 102², являются полными квадратами.
Оказывается, что 97344 - это наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший ста тысяч.

Найдите наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший одного триллиона (10¹²).

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.