Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.

Тройку натуральных чисел (a,b,c) будем называть тройкой Кардано, если она удовлетворяет условию:

Например, тройка (2,1,5) является тройкой Кардано.
Найдите, сколько существует троек Кардано при a, b и  c меньших, чем 30 000 000.

Определим f(n) как сумму факториалов цифр числа n. Например, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.
Определим sf(n) как сумму цифр числа f(n). Например, sf(342) = 3 + 2 = 5.
Определим g(i) как наименьшее натуральное n, для которого sf(n) = i. Так, sf(342) = 5 и sf(25) = 5, и при этом можно проверить, что  наименьшим n, для которого sf(n) = 5 является число 25, поэтому g(5) = 25.
Определим sg(i) как сумму цифр числа g(i). Например, sg(5) = 2 + 5 = 7.
Для некоторых i значения sg(i) совпадают. Например, sg(5)=sg(10)=7;
Можно проверить, что сумма различных значений sg(i) при 1 ≤i ≤20 равна 108.
Найдите сумму различных значений sg(i) при 1 ≤i≤150.

Округлим квадратный корень из натурального числа n до ближайшего целого и будем называть полученный результат округленным квадратным корнем.
Теперь рассмотрим следующий алгоритм вычисления округленного квадратного корня, фактически являющийся модификацией формулы Герона для целочисленной арифметики:
Пусть d — количество знаков числа n,
x₀ = 2?10^(d-1)⁄2 для нечетных d, и
x₀ = 7?10^(d-2)⁄2 для четных d.
Будем вычислять последовательность x_k
x_k+1=[(x_k+{n/x_k})/2]
до тех пор, пока последовательные значения не совпадут: x_k+1 = x_k. Скобки [] - означают округление вниз, а {} - округление вверх.
Для примера вычислим округленный квадратный корень из 4321. Это четырехзначное число, поэтому x₀ = 7 ? 10^(4-2)⁄2 = 70.
x₁=[(70+{4321/70})/2]=66
x₂=[(66+{4321/66})/2]=66
Поскольку  x₂ = x₁,  двух итераций  оказалось достаточно, и мы нашли округленный квадратный корень, равный 66 (это правильный результат, поскольку квадратный корень из 4321 примерно равен 65,7343137…)
Описанный метод оказался удивительно эффективным. Например, для вычисления округленных квадратных корней из пятизначных чисел требуется не более 5 итераций. Существует всего 82 пятизначных числа (например, число 10097), для которых алгоритм требует пяти шагов.
Найдите максимальное число итераций, которое может потребоваться для вычисления округленного квадратного корня из 14-значного числа. В качестве ответа укажите количество 14-значных чисел, для вычисления округленного квадратного корня из которых требуется найденное максимальное число шагов. 

Последовательность g(k) задана следующим образом:
g(k) = 1, при 0 ≤k ≤1999
g(k)= g(k-2000) + g(k-1999), при k ≥2000.
Найдите остаток от деления суммы g(10⁰)+ g(10¹)+ g(10²)+…+ g(10¹⁸) на 12344321.

Будем называть натуральное число достижимым, если оно является значением выражения, построенного по следующим правилам:
1. В выражении должны быть использованы все цифры от 1 до 9 в порядке возрастания, каждая ровно по одному разу.
2. Несколько последовательных цифр могут быть объединены в десятичное число, например, цифры 2,3 и 4 могут быть объединены в число 234.
3. Можно использовать четыре арифметических действия, каждое из них может быть использовано любое количество раз или не использовано вовсе.
4. Пользоваться унарным минусом нельзя
5. Можно  использовать любое количество вложенных пар скобок для задания порядка действий.
Например, число 42 достижимо, поскольку  (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42.

Сколько всего существует достижимых чисел?

Рассмотрим следующую игру, рассчитанную на двух участников.
Первоначально на игровом столе находится три кучки камней.
Игроки ходят по очереди. При каждом ходе игрок может взять один или несколько камней. Однако, если он берет камни из нескольких кучек, он должен взять из каждой кучки одинаковое количество камней.
Другими словами, игрок выбирает некоторое N>0 и забирает:

• N камней из одной кучки;
• или N камней из любых двух кучек (всего 2N камней);
• или по N камней из каждой кучки (всего 3N камней).

Проигрывает тот, кому камней не досталось.
Выигрышной называется позиция, когда первый игрок при правильной стратегии наверняка выигрывает. Например, позиции (0,0,13), (0,11,11) и (5,5,5) являются выигрышными, а первый игрок может выиграть одним ходом.
Проигрышной называется позиция, когда второй игрок при правильной стратегии наверняка выигрывает. Например, позиции (0,1,2) и (1,3,3) являются проигрышными, и как бы первый игрок не походил, второй всегда может выиграть.
Обозначим через x,y и z количество камней в трех кучках.
Существует 1184 проигрышных позиции при 0 ≤ x < y < z ≤ 100.
Найдите количество проигрышных позиций при 0 ≤ x < y < z ≤ 1000.

Будем называть натуральное число k опорным, если существует такая пара натуральных чисел m≥0 и n≥k, для которых
(k-m)² + ... + k² = (n+1)² + ... + (n+m)²,
то есть сумма m+1 последовательных квадратов вплоть до k² включительно равна сумме m последовательных квадратов, начинающихся с (n+1)², например:
4: 3² + 4² = 5²
21: 20² + 21² = 29²
24: 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
110: 108² + 109² + 110² = 133² + 134²
Найдите сумму всех различных опорных чисел в промежутке 10⁹≤k≤10¹⁰.

Высота над уровнем моря на острове Буян определяется формулой

,
где x и y — горизонтальные декартовы координаты.
Шмелю нужно попасть из точки А с горизонтальными координатами (600,600) в точку В с координатами (1400,1400). Чтобы обогнуть возвышенности, шмель из точки A вертикально поднимается на высоту f, затем, двигаясь горизонтально, достигает точки, расположенной прямо над точкой B, и наконец, спускается на землю по вертикали.
Шмель не любит без нужды подниматься вверх слишком высоко, и поэтому он выбирает минимальную высоту fmin, оставаясь на которой можно достичь цели, а на этой высоте выбирает кратчайший путь, лежащий в горизонтальной плоскости.
Найдите длину этого кратчайшего пути, который шмель проделает по горизонтали на высоте fmin. Результат умножьте на 1000 и округлите вниз до целого.

Примечание. Для вашего удобства формула высоты записана в более удобном для программирования виде:

h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )

Рассмотрим число 6. Его делители – это 1,2,3 и 6. Все числа от 1 до 6 могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа 6:
1=1; 2=2; 3=3; 4=1+3; 5=2+3; 6=6.
Будем называть число n практическим, если все числа от 1 до n включительно можно представить в виде суммы его различных делителей.
В этой задаче нас интересуют такие практические числа n, для которых числа n-8, n-4, n+4 и n+8 тоже являются практическими, а числа n+1, n+7, n+13 и n+19 являются последовательными простыми числами. Такие числа n будем называть техническими числами.
Первым (самым маленьким) техническим числом является 23320. Действительно, 23312, 23316, 23320, 23324 и 23328 – практические числа, а 23321, 23327, 23333 и 23339 – последовательные простые числа.
Найдите второе техническое число.