Рассмотрим движение робота. Его траектория представляет собой гладкую кривую, составленную из 72-градусных дуг определенного радиуса. На каждом шаге робот может двигаться по часовой стрелке или против, но не может поворачиваться на месте.

На рисунке показан замкнутый путь робота, состоящий из 25 дуг и начинающийся в направлении "на север", которое обозначено стрелкой. Всего замкнутых траекторий такой длины, начинающихся в северном направлении можно насчитать 70932.

Сколько существует замкнутых траекторий, состоящих не более чем из 70 дуг, и начинающихся в северном направлении. (По одной дуге робот может проходить несколько раз).

Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

Для натурального числа n обозначим через σ₂(n) сумму квадратов его делителей. Например,
σ₂(6) = 1² + 2² + 3² + 6² = 50
σ₂(25) = 1² + 5² + 25² = 651
Число 50 начинается с цифры 5, а число 651 – с цифры 6.
Найдите сумму таких n из интервала 0 < n < 64 000 000, для которых σ₂(n) начинается с цифры 6.

Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Рассмотрим числа t(n) вида 2n²-1 при n>1. Вот первые восемь таких чисел:
7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161
Шесть из них – простые, и только два (49=7×7 и 161=7×23) – составные. Сумма простых t(n) при n≤9 равна 7+17+31+71+97+127=350. Сумма простых t(n) при n≤10000 равна 135049480088. Найдите сумму простых t(n) при n≤3?10⁷. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

k-значное натуральное число называется сбалансированным, если сумма его первых  [k/2]  цифр его равна сумме последних  [k/2] цифр. Здесь  x  обозначает округление вверх, например, [π] = 4 и [5] = 5.
Понятно, что все палиндромы являются сбалансированными, как и число 13722.
Обозначим через T(n) сумму всех сбалансированных чисел, меньших, чем 10ⁿ.
Например, T(1) = 45, T(2) = 540 and T(5) = 334795890.
Найдите остаток от деления T(2000) на 3¹⁵.

Пусть A и B - битовые последовательности,  составленные из нулей и единиц.
Если A состоит из k битов и совпадает с отрезком  длиной k, с которого начинается B (k левых битов), то A называют префиксом B.
Например, 00110 является префиксом последовательности 001101001, но не  является префиксом последовательностей 00111 и 100110.
Префиксным кодом длины n будем называть набор из n битовых последовательностей, ни одна из которых них не является префиксом другой.
Вот, например, префиксный код длины 6:
00, 010,011,100,101,1111

Теперь предположим, что затраты на передачу нуля составляют 1 копейку, а затраты на передачу единицы - 4 копейки. Тогда стоимость вышеприведенного кода составит 2+6+9+6+9+16=48 копеек. Это далеко не самый дешевый код. Самый дешевый код длины 6 стоит 35 копеек и может быть реализован двумя способами:
1,01,00000,001,0001,00001
0000,01,10,001,0001,11

А сколькими способами может быть реализован самый дешевый код длиной 946583626

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.

Будем называть натуральное число A александрийским, если есть такие целые p, q, r, что
A = p·q·r и 1/A=1/p+1/q+1/r.
Примером александрийского числа является 630 (p = 5, q = -7, r = -18). Вот семь первых александрийских чисел:
6, 42, 120, 156, 420, 630, 930.
930 – наибольшее александрийское число, не превышающее 1000.
Найдите наибольшее александрийское число, не превышающее 1,5?10¹⁵.