Матрицу {a_ij} 10 на 10 заполнили двузначными числами следующим образом: a₁₁=31, a₁₂=41, a₁₃=59,... В качестве значений элементов матрицы выбираются две очередные цифры десятичной записи числа π=3,1415926... Сначала заполняется первая строка, затем вторая и т.д. Найдите определитель такой матрицы.

На плоскости размещен правильный 32-угольник с центром в начале координат и одной из вершин, находящейся в точке с координатами (0,1000). Из него вырезали правильный 7-угольник, у которого также центр в начале координат, а одна из вершин в той же точке (0,1000). Сколько в оставшейся части 32-угольника внутренних точек, которые имеют целочисленные координаты?

Радикалом числа n, rad(n), называют произведение различных простых делителей числа n. Например 1008 = 2⁴×3²×7, следовательно rad(1008) = 2×3×7 = 42.

Если мы вычислим все rad(n) для 1 ≤ n ≤10, отсортируем их по значению rad(n), а затем по значению n (при равных rad(n)), то получим:

До сортировки			После сортировки
n	rad(n)		n	rad(n)	k
1	1		1	1	1
2	2		2	2	2
3	3		4	2	3
4	2		8	2	4
5	5		3	3	5
6	6		9	3	6
7	7		5	5	7
8	2		6	6	8
9	3		7	7	9
10	10		10	10	10

Обозначим через E(k) k-ый элемент в отсортированной колонке n, например, E(4) = 8 и E(6) = 9.

Если rad(n) отсортирован для 1 ≤ n ≤ 100000, найдите сумму всех E(k) для 1 ≤ k ≤ 50000.

Радикальное число для числа n, rad(n) это произведение всех различных простых множителей числа n. Например, 504 = 2³*3²*7, и rad(n) = 2*3*7 = 42.
Будем рассматривать тройки натуральных чисел (a, b, c) обладающие следующими свойствами:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1.
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Например, такой тройкой является (5, 27, 32):
НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
5 < 27
5 + 27 = 32
rad(4320) = 30 < 32

Для некоторых c имеется более одной такой тройки (a, b, c). До 10000 таких c всего 15.

Найдите сколько существует c меньших 100000, для которых существует более одной тройки (a, b, c), обладающих описанными выше свойствами.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.
Пусть n-натуральное число, взаимно простое с 10. Можно доказать, что всегда существует число k, для которого R(k) кратно n. Обозначим через A(n) минимальное такое число, например, A(7) = 6 и A(41) = 5.
Для любого простого p > 5 число p−1 кратно A(p). Например, при p = 41 A(41) = 5 и 41-1 делится на 5.
Однако изредка попадаются и составные числа, обладающие этим свойством. Первые пять из них: 91, 259, 451, 481 и 703.
Найдите n - пятидесятое взаимно простое с 10 составное число, для которого n−1 делится на A(n).

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k.
Например, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, а сумма этих простых сомножителей равна 9414.
Найдите сумму первых двухсот простых сомножителей числа R(12!).

Два студента механико-математического факультета развлекаются такой игрой: они записывают в ячейки матрицы 3х3 числа от 1 до 9, первый студент записывает в центральную (второй столбец и вторая строка) ячейку число x, затем второй может в любую ячейку записать второе число отличное от первого, затем первый студент может записать в любую оставшуюся ячейку новое число несовпадающее с предыдущими и так далее, пока все ячейки не будут заполнены различными числами от 1 до 9. Побеждает первый игрок, если определитель получившейся матрицы положителен, в противном случае побеждает второй игрок. При каком минимальном числе x вероятность победы первого игрока максимальна.

Рассмотрим последовательные простые числа p₁ = 37 и p₂ = 41. Можно убедиться, что число S = 3441, является наименьшим числом, обладающим следующими свойствами:

1) S кратно p₁, и

2) последние цифры S образуют число p₂.

Для любых последовательных простых чисел p₂ >p₁> 5, можно найти наименьшее натуральное S, обладающее свойствами 1 и 2.

Найдите ∑S для всех пар последовательных простых чисел при 7 ≤ p₁ ≤ 1000000.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?