Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).

Суперферзь отличается от обычного тем, что он может ходить и как конь. Сколькими способами можно расствить 14 суперферзей на шахматной доске размера 14 на 14 таким образом, чтобы ни один суперферзь не находился под ударом другого суперферзя? Позиции, получающиеся друг от друга поворотом или зеркальным отображением, считаются разными.

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Четыре предмета, один из которых белый (Б), а три остальных – черные (Ч), можно сгруппировать семью способами:

(ЧЧЧБ) (Ч,ЧЧБ) (Ч,Ч,ЧБ) (Ч,Ч,Ч,Б) (Ч,ЧЧ,Б) (ЧЧЧ,Б) (ЧЧ,ЧБ)

Обозначим через f(b,w) количество способов, которыми можно сгруппировать множество из b черных и w белых предметов. Так, f(3,1)=7.

Найдите ∑f(60,p), где сумма берется для всех простых p, не превышающих 50.

Пусть I_r – множество точек с целыми координатами x и y, лежащих внутри круга радиуса r, т.е. x² + y² < r².

При r=2 I₂ содержит 9 точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1).

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются точки, принадлежащие I₂. Среди них найдется ровно 8 треугольников, содержащих начало координат в своей внутренней области. Два из них показаны на рисунке, а остальные можно получить поворотами.

При r=3 существует ровно 360 треугольников с вершинами, принадлежащими I₃, содержащих начало координат в своей внутренней области, а для r=5 таких треугольников будет 10600.

Сколько найдется треугольников, все вершины которых принадлежат I₅₀₀, а начало координат лежит в их внутренней области?

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.

Треугольники с целыми длинами строн называются почти прямоугольными, если a²+b²=c²±1 (a≤b≤c). Сколько существут различных почти прямоугольных треугольников с периметром меньшем 10¹⁵.