Найдите все натуральные x, y, z, такие что  x+y+z < 10000000, x > y > z > 0 и x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z все являются полными квадратами. В ответ запишите сумму всех найденных чисел.

На плоскости нарисован квадрат, одна вершина квадрата имеет координаты (0,0), а противополжная по диагонали - (1000,1000). В каждой точке с целочисленными координатами, находящейся внутри квадрата, размещено наименьшее простое число ближайшее к длине радиус-вектора из начала координат в данную точку. Найдите сумму все простых чисел, размещенных в квадрате.

Найти количество единиц среди одного миллиона первых цифр десятичной записи числа sin (1).

На плоскости размещен правильный 32-угольник с центром в начале координат и одной из вершин, находящейся в точке с координатами (0,1000). Из него вырезали правильный 7-угольник, у которого также центр в начале координат, а одна из вершин в той же точке (0,1000). Сколько в оставшейся части 32-угольника внутренних точек, которые имеют целочисленные координаты?

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.

Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.

Замощение плоскости правильными шестиугольниками нумеруется начиная с 1 следующим образом: вначале один многоугольник выделяется и обозначается "1", затем против часовой стрелки начиная с направления вверх последовательно нумируется еще слой из 6 правильных многоугольников. И так далее каждый слой. Смотрите иллюстрацию, на ней пронумерованы первые три слоя.

Для каждого числа n найдем модули разности между ним и его шестью соседями. Определим PD(n) количество простых модулей разности среди них.

Например, для числа 8 модули разности такие: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом PD(8) = 3.

А для числа 17 разности: 1, 17, 16, 1, 11 и 10, то есть PD(17) = 2.

Можно показать, что значения PD(n) не превосходит 3, для любых n.

Выпишите все n делящиеся на 5, начиная с меньших n, для которых PD(n) равно 3. В ответ запишите 1000-е такое n.

Найти сумму первых 2010 цифр после запятой значения корня степени 2010 из 2010.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k.
Например, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, а сумма этих простых сомножителей равна 9414.
Найдите сумму первых двухсот простых сомножителей числа R(12!).

Шахматный конь ходит буквой "Г" - сначала в одну сторону на 2 клетки, а потом влево или вправо на одну. Новая шахматная фигура баран ходит как и конь, только сначала он ходит на 3 клетки.

Баран начал ходить с поля a1. Какое максимальное количество клеток он может посетить (включая первую) и при этом не наступая ни на одну из клеток дважды.